https://www.youtube.com/watch?v=IRKmPUh8_7E&list=PLwXxAxAEOlGgLDpzx1zVeSEOEFx257bDn&index=13
Ebben a videómban ezt a típust is magyarázom! Érdemes megnézned, ha szeretnéd tudni.

Amúgy ez a megoldás, de a videóm húszon valahányadik percében el is magyarázom a kívül belül ismeretlen, visíts fel, hogy EULER!

Teljesen jók a fenti videó meg a levezetés, nekem is tetszik, fogadd el azt a választ megoldásnak.
Ennek ellenére én kicsit máshogy szoktam csinálni, ami néha gyorsabb megoldást ad (mondjuk az olyan feladatoknál, mint ami a videóban szintén van:
`lim_(n→∞)((3n-5)/(3n+4))^(7n-5) `

Először egy kis "segédtétel":

Amit meg kell jegyezni hozzá: (itt az `a, b, c, d` konstansok)
`lim_(n→∞)(1+a/n)^n=lim_(n→∞)(1+a/(n+b))^n=e^a`
vagy kicsit még tovább általánosítva:
`lim_(n→∞)(1+a/(n+b))^(cn+d)=e^(a·c)`
vagyis a `b` valamint `d` konstansok nem számítanak, mintha ott se lennének.
Fontos viszont az, hogy a zárójelen belül az `1` valamint az `n` nem lehet szorozva!

Ezeket nagyon könnyű levezetni, pl. az első így megy:
`lim_(n→∞)(1+a/(n+b))^n=lim_(n→∞)(1+a/(n+b))^((n+b)-b)=(lim_(n→∞)(1+a/(n+b))^(n+b) )/ (lim_(n→∞)(1+a/(n+b))^b)=`
`=(lim_(n+b→∞)(1+a/(n+b))^(n+b) )/ 1=e^a`
A másodikhoz se kell több ötlet, az is ugyanígy megy.

------------------------------------------------------------

És akkor az adott feladat:
`lim_(n→∞)((n+2)/(n+3))^(5n)=lim_(n→∞)((n+3-1)/(n+3))^(5n)=lim_(n→∞)(1+(-1)/(n+3))^(5n)=e^(-5)`

------------------------------------------------------------

Az a bonyolultabb feladat pedig, ami a videó 29-32-edik perceiben van:
`lim_(n→∞)((3n-5)/(3n+4))^(7n-5)=lim_(n→∞)((3n+4-9)/(3n+4))^(7n-5)=lim_(n→∞)(1+(-9)/(3n+4))^(7n-5)=`
`=lim_(n→∞)(1+(-3)/(n+4/3))^(7n-5)=e^(-3·7)=e^(-21)`