Kúppalást

Állítás: Egy egyenes körkúp palástjának az alapkör síkjára eső merőleges vetülete maga az alapkör.

A bizonyítás két részből áll:
1. Bizonyítani kell, hogy az alapkör minden pontja előáll, mint egy kúppalást-pont merőleges vetülete. (A körlap pontjai valóban merőleges vetületek)
2. Bizonyítani kell, hogy más pont nem áll elő, mint egy kúppalást-pont merőleges vetülete. (CSAK a körlappontok állnak elő merőleges vetületként)

1.

Elő kell állítani minden körlap-pontot, mint a kúppalást egy pontjának merőleges vetülete. Ehhez kiindulunk egy általános körlap-pontból és előállítjuk azt a kúppalást-pontot, amit merőlegesen vetítve a körlap-pontot kapjuk. Merőlegest állítunk a körlap egy pontjába, és megadjuk azt a pontot, ahol ez az egyenes átdöfi a palástot:

Állítsunk a `k` körlap egy `P'` pontjába a körlapot tartalmazó `S` síkra merőleges `e` egyenest. Húzzuk be a körlap azon `r` sugarát, mely tartalmazza `P'`-t. Tekintsük ezután azt az `S_{e,r}` síkot, amely tartalmazza `e`-t és `r`-et (ilyen van, két metsző egyenes, itt `e` és `r` egyenese, mindig meghatároz egy síkot). Ez a sík a kúppalástból két alkotót is tartalmaz, amik nem párhuzamosak `e`-vel, hiszen akkor merőlegesnek kellett volna lenniük `S`-re (és akkor a test henger lenne, nem kúp). Tekintsük azt, amelyik az `r` szakasz egyik végpontját tartalmazza. Ez az alkotó metszi az `e` egyenest, metszéspontjuk pedig `P`, a kúppalást azon pontja, amelynek a merőleges vetülete a `P'` pont.

2.

Most azt mutatjuk meg, hogy az `S` sík egy általános, NEM körlap-beli pontjába merőlegest állítva az így keletkező egyenesnek nem lesz metszéspontja a kúppalásttal.

Állítsunk az `S` sík egy `Q'`, NEM körlap-beli pontjába az `S` síkra merőleges `f` egyenest. Húzzuk be a körlap azon `r` sugarának egyenesét, mely tartalmazza `Q'`-t. Tekintsük ezután azt az `S_{f,r}` síkot, amely tartalmazza `f`-et és `r`-et . Ez a sík a kúppalástból két alkotót is tartalmaz, amik nem párhuzamosak `f`-fel, hiszen akkor merőlegesnek kellett volna lenniük `S`-re. `f` emiatt bár metszi az alkotók egyeneseit, de nem azon a szakaszon, amely ténylegesen a kúppalást alkotója, így magával a kúppalásttal nincs metszéspontja `f`-nek. Tehát nincs olyan kúppalást-beli pont, aminek a merőleges vetületeként előáll az `Q'`, nem körlap-pont.

Ennyi. Kicsit pongyola, nem teljesen precíz, de a lényege a bizonyításnak szerintem ilyesmi.

A meggyőző bizonyítás után a kérdés következő : hogy lehet ezt a felismerést egy használható összefüggés formájában megjeleníteni?
Gondolok itt egy A = f(P) ill. P = f(A) függvényre.
ahol
P - a kúp palástja
A - a kúp alapkörének területe