Sor konvergenciája

Először is: mi is pontosan a kifejezés? Te azt írtad le, hogy `(root3 x)/x +4`. Biztosan erre gondolsz? Nem inkább `(root3 x)/(x+4)`? Vagy esetleg `root3(x/(x+4))`?

Másodszor: a kifejezésben használt változó `x`, te pedig `n`-nel tartasz a végtelenbe... Akkor mi az `n`? Vagy esetleg arról van szó, hogy ez egy függvény, és azt kell Taylor-sorba fejteni?

Harmadszor: a címben sor szerepel, a kérdésben meg sorozat, ezek nem ugyanazt jelentik. A sor egy sorozat összege. Például az `a_n=1/n^2` egy sorozat, aminek tagjai `1`, `1/4`, `1/9`, `1/16` stb. Viszont `sum_{n=1}^{oo} 1/n^2``=``1``+``1/4``+``1/9``+``1/16+...=pi^2/6` egy sor.

Ezek alapján pontosítsd kérlek a kérdésedet!

Tehát a kérdés a `lim_{n rightarrow oo} (root3 n)/(n+4)` határérték. Erről rögtön meg lehet mondani, hogy nulla, mert a számlálója lassabban tart a végtelenbe, mint a nevezője. De ez így persze csak intuíció, úgyhogy csináljuk meg formálisan is.

Ha minden véges, akkor a határértéket lehet tagonként számolni. Ez viszont most `(oo)/(oo+4)` alakú eredményt ad, úgyhogy nem használható. Vessük be ezért azt a trükköt, hogy elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét is `n`-nel:

`lim_{n rightarrow oo} (root3 n)/(n+4)=lim_{n rightarrow oo} (1/n^(2/3))/(1+4/n)`

Ha `n` és `n^(2/3)` a végtelenhez tart, akkor `4/n` és `1/n^(2/3)` a nullához tartanak. Most már minden egyes tagnak véges a határértéke, lehet tagonként számolni:

`lim_{n rightarrow oo} (1/n^(2/3))/(1+4/n)=0/(1+0)=0`

Vagyis: a sorozat konvergens, a határértéke nulla.