Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Sor konvergenciája

248
Miért konvergens vagy éppen enm konvergens ez a sorozat?
n=1-től megy végtelenig
(harmadikgyök alatt x)/x+4
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2
Először is: mi is pontosan a kifejezés? Te azt írtad le, hogy `(root3 x)/x +4`. Biztosan erre gondolsz? Nem inkább `(root3 x)/(x+4)`? Vagy esetleg `root3(x/(x+4))`?

Másodszor: a kifejezésben használt változó `x`, te pedig `n`-nel tartasz a végtelenbe... Akkor mi az `n`? Vagy esetleg arról van szó, hogy ez egy függvény, és azt kell Taylor-sorba fejteni?

Harmadszor: a címben sor szerepel, a kérdésben meg sorozat, ezek nem ugyanazt jelentik. A sor egy sorozat összege. Például az `a_n=1/n^2` egy sorozat, aminek tagjai `1`, `1/4`, `1/9`, `1/16` stb. Viszont `sum_{n=1}^{oo} 1/n^2``=``1``+``1/4``+``1/9``+``1/16+...=pi^2/6` egy sor.

Ezek alapján pontosítsd kérlek a kérdésedet!
Módosítva: 4 éve
0

Tehát a kérdés a `lim_{n rightarrow oo} (root3 n)/(n+4)` határérték. Erről rögtön meg lehet mondani, hogy nulla, mert a számlálója lassabban tart a végtelenbe, mint a nevezője. De ez így persze csak intuíció, úgyhogy csináljuk meg formálisan is.

Ha minden véges, akkor a határértéket lehet tagonként számolni. Ez viszont most `(oo)/(oo+4)` alakú eredményt ad, úgyhogy nem használható. Vessük be ezért azt a trükköt, hogy elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét is `n`-nel:

`lim_{n rightarrow oo} (root3 n)/(n+4)=lim_{n rightarrow oo} (1/n^(2/3))/(1+4/n)`

Ha `n` és `n^(2/3)` a végtelenhez tart, akkor `4/n` és `1/n^(2/3)` a nullához tartanak. Most már minden egyes tagnak véges a határértéke, lehet tagonként számolni:

`lim_{n rightarrow oo} (1/n^(2/3))/(1+4/n)=0/(1+0)=0`

Vagyis: a sorozat konvergens, a határértéke nulla.
Módosítva: 4 éve
0