Variáció

a) Diszkrét eloszlásról van szó, `X in {0, 10, 100, 200}`. Az egyes értékek valószínűségei:

`\text{P}(X=0)=70/100=0.7`

`\text{P}(X=10)=20/100=0.2`

`\text{P}(X=100)=8/100=0.08`

`\text{P}(X=200)=2/100=0.02`

Sűrűségfüggvény alatt gondolom az `f(x)=\text(P)(X=x)` függvényt érted, ez ebben a négy pontban vesz csak fel nullától különböző értéket:

`f(0)=0.7`

`f(10)=0.2`

`f(100)=0.08`

`f(200)=0.02`

Ez viszont nem a szokásos értelemben vett sűrűségfüggvény, mivel az integrálja nullát ad, nem egyet. Ha valódi sűrűségfüggvényt szeretnél egy diszkrét eloszláshoz, akkor azt Dirac-deltákkal tudod megoldani:

`f(x)=0.7 delta(x)+0.2 delta(x-10)+0.08 delta(x-100)+0.02 delta(x-200)`

Ha ez utóbbi nem ismerős, akkor valószínűleg az előző megoldást várják tőled.


b) Várható érték (átlag):

`\text{E}{X}``=``sum_{i=1}^{4} x_i*\text{P}(X=x_i)``=``0*0.7+10*0.2+100*0.08+200*0.02``=``14\text{ forint}`

Variancia:

`\text{var}{X}``=``sum_{i=1}^{4} (x_i-\text{E}{X})^2*\text{P}(X=x_i)``=``(0-14)^2*0.7+(10-14)^2*0.2+(100-14)^2*0.08+(200-14)^2*0.02``=``1424\text{ forint}^2`

Más számítási mód, használva a Steiner-képletet:

`\text{var}{X}``=``(sum_{i=1}^{4} x_i^2*\text{P}(X=x_i))-(\text{E}{X})^2``=``0^2*0.7+10^2*0.2+100^2*0.08+200^2*0.02-14^2``=``1424\text{ forint}^2`

Szórás:

`\text{std}{X}=sqrt(\text{var}{X})=sqrt(1424)~~37.74\text{ forint}`


c) és d) Nem igazán írja a feladat, hogy mi itt a játék... Gondolom arról van szó, hogy a kihúzott gömböt megtarthatom. Feltéve, hogy a gömbök ára tükrözi a számomra képviselt értéküket, a várható nyereménnyel kell összevetni a játék díját. Az előbb kijött, hogy a várható nyeremény 14 forint, így a 10 forintos játékdíj megéri, a 20 forintos már nem.