Kúpok, térgeometria

Egy kúp térfogata `V=\frac{r^2\pi\cdot m}{3}`, valamint felszíne `A=r^2\pi+r\pi a`, ahol `r` az alapkör sugara, `m` a kúp magassága, `a` pedig egy alkotó hossza. Ezekből `a` = 10 cm ismert, `r` és `m` kiszámolandó.

`r` kiszámolása:
Mivel a tengelymetszet egyenlő szárú derékszögű háromszög, ennek az átfogója lesz az alapkör egy átmérője, jelölje ezt az átfogót `d`. Az egyenlőszárúság miatt, ha az egyik befogó 10 cm, a másik is. Pitagorasz-tétellel `d=10\sqrt{2}` cm, ebből `r=\frac{d}{2}=5\sqrt{2}` cm hosszú.

`m` kiszámolása:
A kúp magassága megegyezik az egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságával. Mivel ez a magasság két, a nagy háromszöghöz hasonló háromszögre bontja a nagy háromszöget, a keletkező két kis háromszög is egyenlőszárú, száraik hossza pedig épp a nagyháromszög átfogójának fele, tehát `m=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}` cm.

Ezekből az adatokból `V` és `A` a fent leírt képletekkel számolható:
`V=\frac{(5\sqrt{2})^2\cdot \pi \cdot 5\sqrt{2}}{3}=\frac{(5\sqrt{2})^3\pi}{3}=\frac{250\sqrt(2)\pi}{3}\approx 370\text{,}24` cm3

`A=(5\sqrt{2})^2\cdot \pi+5\sqrt{2}\cdot\pi \cdot 10=50\pi+50\pi\sqrt(2)=50\pi(1+\sqrt{2})\approx 379\text{,}22` cm2