Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Háromszög
jokry
kérdése
1051
Derékszögű háromszög átfogóját a magasság két olyan szakaszra bontja amelynek különbsége 1cm.A háromszög kisebbik befogója 1cm-rel rövidebb az átfogónál.Mekkorák a háromszög oldalai?
Válaszodat előre köszönöm!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
magistratus{ Tanár }
megoldása
Jelölésekért lásd a csatolmányt.
`c=x+(x+1)=2x+1`, ennél a feladat szövege szerint a kisebbik befogó, `a`, 1-gyel kisebb: `a=c-1=(2x+1)-1=2x`.
I. MEGOLDÁS
Ha észre vesszük, hogy az `ACD` félszabályos háromszög
Észre vesszük, hogy az `ACD` derékszögű háromszög átfogója, `a=2x`, éppen kétszerese az egyik befogójának, ami `x`. Ez tehát egy speciális, félszabályos háromszög (szögei 30°, 60°, és 90°, valamint `m`-re, mint tengelyre tükrözve szabályos háromszöget kapnánk).
Mivel a derékszögű háromszöget az átfogóhoz tartozó magasság két olyan hasonló derékszögű háromszögre bontja, amik az eredeti nagy háromszöghöz is hasonlók (ugyanakkorák a megfelelő szögeik), ezért `ABC` és `ACD` háromszögek hasonlók, tehát az eredeti nagy háromszög is félszabályos háromszög.
Ebből viszont következik, hogy az átfogó a rövidebb befogó kétszerese, azaz:
`c=2a`
`2x+1=2 \cdot 2x`
`\frac{1}{2}` cm `=x`.
Innen a megoldás egyezik a II. megoldáséval a *-tól
II. MEGOLDÁS
Ha nem vesszük észre, hogy az `ACD` félszabályos háromszög
A derékszögű háromszöget az átfogóhoz tartozó magasság két olyan hasonló derékszögű háromszögre bontja, amik az eredeti nagy háromszöghöz is hasonlók (ugyanakkorák a megfelelő szögeik), ezért `ABC` és `ACD` háromszögek hasonlók.
A megfelelő oldalak aránya:
`\frac{a}{x}=\frac{c}{a}`
Behelyettesítve:
`\frac{2x}{x}=\frac{2x+1}{2x}`
Ezt megszorozva `2x`-szel:
`4x=2x+1`
`x=\frac{1}{2}` cm.
*
Ebből `a=2x=2\cdot\frac{1}{2}=1` cm, `c=2x+1=2\cdot\frac{1}{2}+1=2` cm.
`b` innen Pitagorasz tétellel könnyen számítható:
`b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}` cm.