Fizika házi

Rajzold le a gömb metszetét (egy kört), bele egy téglalapot (az a henger metszete).
A henger sugara `r`, magassága`m`. Rajzold be ezeket is. Látni fogod, hogy a kör (gömb) középpontjáig `m/2` van. Az `r`, `m/2`, `R` egy derékszögű háromszöget alkotnak. Pitagorasz:
`R^2=r^2+(m/2)^2`
`4R^2=4r^2+m^2`

A palást területe:
`T=2rπ·m`
Ennek a maximumát kellene elérni. Ez akkor maximális, amikor `r·m` maximális.

Használjuk fel a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget: Írjuk fel ezt a `4r^2` és `m^2` mennyiségekkel:
`(4r^2+m^2)/2 ≥ sqrt(4r^2·m^2)`
`(4r^2+m^2)/2 ≥ 2r·m`
A bal oldal éppen `2R^2`:
`2R^2 ≥ 2r·m`
`R^2 ≥ r·m`
Ez azt jelenti, hogy az `r·m` szorzat nem tud akármilyen nagy lenne, legfeljebb `R^2`-ig tud nőni. Az tehát a maximuma. A számtani-mértani közép egyenlőtlenségből azt is tudjuk, hogy az egyenlőség akkor áll fenn, amikor a két mennyiség, aminek a közepét vesszük, egyforma. Vagyis amikor
`4r^2=m^2`
Mivel ezek összege `4R^2`, ezért mindkettő ennyi:
`4r^2=m^2=2R^2`
`2r=m=R·sqrt2`

`r=R·sqrt2/2`
`m=R·sqrt2`