Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Társas
kapesmate
kérdése
237
Mi a valószínűsége, hogy egy 1,2,3,... számozású mezőkből álló társasjátéknál az n. mezőre fogok valaha lépni (végtelen hosszú a társas), ha pontosan annyit lépek, mint amennyit dobok egy szabályos kockával?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, valszám, markov, független, idő, invariancia, Valószínűség, véges, kombiantorika, Pascal
matek, valszám, markov, független, idő, invariancia, Valószínűség, véges, kombiantorika, Pascal
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
2
kapesmate
válasza
Természetesen megengedett a több lépés, tehát hogy többször dobjak.
0
- Még nem érkezett komment!
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
Jelentse `P_n` annak a valószínűségét, hogy valaha elérjük az `n`-edik mezőt. Feltételezem, hogy a táblán kívülről, a "nullás mezőről" indulunk (ha az 1-es számú mezőről indulunk, akkor pontosan ugyanígy kell csinálni, de sokkal rondább komplex számok jönnek ki). Akkor fogjuk elérni az `n`-edik mezőt, ha a kockadobásaink összege valamikor éppen `n` lesz.
`P_1=1/6`, mert az 1-es mezőt csak úgy érhetjük el, ha az első dobásunk 1.
`P_2=1/6+1/6 P_1 = 7/36`, mert a 2-es mezőt kétféleképpen érhetjük el: vagy az első dobásunk 2-es, vagy az 1-es mezőn állva 1-est dobunk.
`P_3=1/6 + 1/6 P_1 + 1/6 P_2=49/216`, mert úgy kerülhetünk a 3-as mezőre, hogy elsőre 3-ast dobunk, vagy az 1-es mezőn állva 2-est dobunk, vagy pedig a 2-es mezőn állva 1-est dobunk.
`P_4=1/6+1/6 P_1 + 1/6 P_2 + 1/6 P_3=343/1296`
`P_5=1/6+1/6 P_1 + 1/6 P_2 + 1/6 P_3 + 1/6 P_4=771/2497`
`P_6=1/6+1/6 P_1 + 1/6 P_2 + 1/6 P_3 + 1/6 P_4 + 1/6 P_5=558/1549`
`n>6`-ra:
`P_n=1/6 P_{n-1}+1/6 P_{n-2}+1/6 P_{n-3}+1/6 P_{n-4}+1/6 P_{n-5}+1/6 P_{n-6}`
Ez egy lineáris rekurzió. A karakterisztikus egyenlete:
`q^6=1/6 q^5+1/6 q^4+1/6 q^3+1/6 q^2+1/6 q+1/6`
`6q^6-q^5-q^4-q^3-q^2-q-1=0`
A hatodfokú egyenletet megoldja nekünk pl. a WolframAlpha, a gyökök az alábbiak:
`q_1=1`
`q_2~~-0.670332`
`q_{3,4}~~-0.375695 pm 0.570175 i``~~``0.682823 e^(pm2.153411i)`
`q_{5,6}~~0.294195 pm 0.668367 i``~~``0.730250 e^(pm1.156148i)`
A rekurzió megoldásterének bázisát a fentiek hatványai adják. A megoldandó egyenletrendszer a következő:
`P_1=c_1 q_1 +c_2 q_2 +c_3 q_3 +c_4 q_4 +c_5 q_5 +c_6 q_6`
`P_2=c_1 q_1^2 +c_2 q_2^2 +c_3 q_3^2 +c_4 q_4^2 +c_5 q_5^2 +c_6 q_6^2`
...
`P_6=c_1 q_1^6 +c_2 q_2^6 +c_3 q_3^6 +c_4 q_4^6 +c_5 q_5^6 +c_6 q_6^6`
Ez is mehet WolframAlphával vagy tetszőleges más programmal (Python szkriptet mellékeltem képként). A megoldások:
`c_1=2/7`
`c_2=c_3=c_4=c_5=c_6=1/7`
Ezek után a keresett valószínűség:
`P_n = sum_{i=1}^6 c_i q_i^n=`
`2/7+1/7((-0.670332)^n``+``0.682823^n (e^(n*2.153411i)+e^(-n*2.153411i))``+``0.730250^n (e^(n*1.156148i)+e^(-n*1.156148i)))=`
`2/7+1/7*(-0.670332)^n``+``2/7*0.682823^n*cos(n*2.153411)``+``2/7*0.730250^n*cos(n*1.156148)`
Mellékeltem egy Python nyelvű szimulációt, ami 1-től 100-ig minden `n`-re lejátszik húszezer játékot. Jól látszik, hogy a szimuláció eredménye szépen követi az elméleti számítást. Az is látszik, hogy nagy `n`-re a valószínűség `2/7`-hez tart. Ez a levezetett kifejezésből is könnyen látható, hiszen az egynél kisebb alapú exponenciális tagok a végtelenben nullához tartanak.
`P_1=1/6`, mert az 1-es mezőt csak úgy érhetjük el, ha az első dobásunk 1.
`P_2=1/6+1/6 P_1 = 7/36`, mert a 2-es mezőt kétféleképpen érhetjük el: vagy az első dobásunk 2-es, vagy az 1-es mezőn állva 1-est dobunk.
`P_3=1/6 + 1/6 P_1 + 1/6 P_2=49/216`, mert úgy kerülhetünk a 3-as mezőre, hogy elsőre 3-ast dobunk, vagy az 1-es mezőn állva 2-est dobunk, vagy pedig a 2-es mezőn állva 1-est dobunk.
`P_4=1/6+1/6 P_1 + 1/6 P_2 + 1/6 P_3=343/1296`
`P_5=1/6+1/6 P_1 + 1/6 P_2 + 1/6 P_3 + 1/6 P_4=771/2497`
`P_6=1/6+1/6 P_1 + 1/6 P_2 + 1/6 P_3 + 1/6 P_4 + 1/6 P_5=558/1549`
`n>6`-ra:
`P_n=1/6 P_{n-1}+1/6 P_{n-2}+1/6 P_{n-3}+1/6 P_{n-4}+1/6 P_{n-5}+1/6 P_{n-6}`
Ez egy lineáris rekurzió. A karakterisztikus egyenlete:
`q^6=1/6 q^5+1/6 q^4+1/6 q^3+1/6 q^2+1/6 q+1/6`
`6q^6-q^5-q^4-q^3-q^2-q-1=0`
A hatodfokú egyenletet megoldja nekünk pl. a WolframAlpha, a gyökök az alábbiak:
`q_1=1`
`q_2~~-0.670332`
`q_{3,4}~~-0.375695 pm 0.570175 i``~~``0.682823 e^(pm2.153411i)`
`q_{5,6}~~0.294195 pm 0.668367 i``~~``0.730250 e^(pm1.156148i)`
A rekurzió megoldásterének bázisát a fentiek hatványai adják. A megoldandó egyenletrendszer a következő:
`P_1=c_1 q_1 +c_2 q_2 +c_3 q_3 +c_4 q_4 +c_5 q_5 +c_6 q_6`
`P_2=c_1 q_1^2 +c_2 q_2^2 +c_3 q_3^2 +c_4 q_4^2 +c_5 q_5^2 +c_6 q_6^2`
...
`P_6=c_1 q_1^6 +c_2 q_2^6 +c_3 q_3^6 +c_4 q_4^6 +c_5 q_5^6 +c_6 q_6^6`
Ez is mehet WolframAlphával vagy tetszőleges más programmal (Python szkriptet mellékeltem képként). A megoldások:
`c_1=2/7`
`c_2=c_3=c_4=c_5=c_6=1/7`
Ezek után a keresett valószínűség:
`P_n = sum_{i=1}^6 c_i q_i^n=`
`2/7+1/7((-0.670332)^n``+``0.682823^n (e^(n*2.153411i)+e^(-n*2.153411i))``+``0.730250^n (e^(n*1.156148i)+e^(-n*1.156148i)))=`
`2/7+1/7*(-0.670332)^n``+``2/7*0.682823^n*cos(n*2.153411)``+``2/7*0.730250^n*cos(n*1.156148)`
Mellékeltem egy Python nyelvű szimulációt, ami 1-től 100-ig minden `n`-re lejátszik húszezer játékot. Jól látszik, hogy a szimuláció eredménye szépen követi az elméleti számítást. Az is látszik, hogy nagy `n`-re a valószínűség `2/7`-hez tart. Ez a levezetett kifejezésből is könnyen látható, hiszen az egynél kisebb alapú exponenciális tagok a végtelenben nullához tartanak.
1
-
kapesmate: Nagyon köszönöm! 4 éve 0