Matematika

Először rá kell jönni, hogy a számok hátha valaminek a hatványai. Pl. 27 = 3·3·3=3³. Vagy `9/4=(3/2)^2`, stb.
Aztán van néhány szabály a hatványozásnál, amiket meg kell tanulni:

- Negatív hatvány reciprokot jelent. Vagyis pl. `25^(-3/2)=1/25^(3/2)`

- Hatvány hatványából a kitevők szorzata lesz. Szóval mivel `27=3^3`, ezért `27^(2/3)=(3^3)^(2/3)` ez a hatvány hatványa; most jön ebből a kitevők szorzata: `=3^(3·2/3)=3^2=9`
- Ez persze fordítva is igaz: ha a kitevő egy szorzat, azt fel lehet írni hatvány hatványaként. Most ilyenre nem nagyon van szükség, de mondjuk `5^(2·3)=(5^2)^3`

- Ha a hatvány kitevője egy tört, akkor a kitevő nevezője annyiadik gyökvonást jelent. Tehát pl. `5^(1/4)=root(4)5`, vagy `6^(2/5)=6^(2·1/5)=(6^2)^(1/5)=root(5)(6^2)`. Ezt az utóbbit picit kell gyakorolni, és akkor egy lépésben is megy: `6^(2/5)=root(5)(6^2)`

- Ha azonos alapú hatványok szorzata van, akkor a kitevőket össze kell adni. Pl. `7^(2/3)·7^(1/6)=7^(2/3+1/6)=7^(5/6)` Vigyázz, csak akkor lehet ilyet csinálni, ha az alap azonos (most a `7` az alap).

- Ha azonos alapú hatványok hányadosa van, akkor a kitevőket ki kell vonni. Pl. `7^(5/6)/7^(1/3)=7^(5/6-1/3)=7^(3/6)=7^(1/2)`. Most is csak akkor lehet ilyet csinálni, ha mindkét hatany alapja ugyanaz (most `7`).

Nagyjából ennyi szabály van, remélem, nem hagytam ki egyet sem.

1) Próbáld meg magadtól őket. Szólj, ha valamelyik nem megy.

2) mondjuk az utolsót megcsinálom, az a legnehezebb. A többit csináld magad:

2.d) `(3/4)^(-3/2)`
a negatív kitevő reciprokot jelent, ezért
`(3/4)^(-3/2)=(4/3)^(3/2)`
gyökalakban kell felírni, vagyis a kitevő nevezője lesz a gyök, most négyzetgyök:
`(3/4)^(-3/2)=(4/3)^(3/2)=sqrt((4/3)^3)`

3) Most a gyökök helyett hatvány kell, vagyis hányadik gyök, az lesz a hatvány nevezője. Az elsőt csináld meg magad. A második:

3.b) `root(3)(sqrt5)`
Kezdjük a belső gyökkel, abból 1/2-es hatvány lesz:
`root(3)(sqrt5)=root(3)(5^(1/2))`
Aztán a külső köbgyökből 1/3-adik hatvány lesz:
`root(3)(sqrt5)=root(3)(5^(1/2))=(5^(1/2))^(1/3)`
Aztán hatvány hatványa azt jelenti, hogy ... nézd meg fent amiket írtam, ez a második: kitevők szorzata lesz:
`root(3)(sqrt5)=root(3)(5^(1/2))=(5^(1/2))^(1/3)=5^(1/2·1/3)=5^(1/6)`

Megcsinálom a d-t is:
3.d) `root(4)(5^3)/(root(3)(5)·root(6)(5))`
Érdemes először mindegyik gyököt hatvánnyá alakítani. Egyszerre felírom mindet magyarázat nélkül, szerintem ez még egyszerű:
`root(4)(5^3)/(root(3)(5)·root(6)(5))=5^(3/4)/(5^(1/3)·5^(1/6))`
aztán a nevezőben azonos alapú hatványok szorzata van, abból a kitevők összege lesz:
`root(4)(5^3)/(root(3)(5)·root(6)(5))=5^(3/4)/(5^(1/3)·5^(1/6))=5^(3/4)/(5^(1/3+1/6))`
végül azonos alapú hatványok hányadosa van, olyankor a kitevőket ki kell vonni:
`root(4)(5^3)/(root(3)(5)·root(6)(5))=5^(3/4)/(5^(1/3)·5^(1/6))=5^(3/4)/(5^(1/3+1/6))=5^(3/4-(1/3+1/6))`
ami persze röviden írva `5^(1/4)`

4)
Az utolsót csinálom végig, nem magyarázok közben, remélem, érteni fogod:

4.c)
`(root(5)(2^(-3))·2^(-3/10))/(sqrt(2^(-1))·root(10)(2^(-7)))=(2^(-3/5)·2^(-3/10))/(2^(-1/2)·2^(-7/10))=(2^(-3/5-3/10))/(2^(-1/2-7/10))=(2^(-9/10))/(2^(-12/10))=2^((-9/10)-(-12/10))=2^(-9/10+12/10)=2^(3/10)`

5)
Akkor tudjuk sorrendbe rakni, ha mindegyiknek ugyanaz lenne az alapja. Akkor egyszerűen a nagyobb kitevőjű lesz a nagyobb szám.
Mindegyik alap valamilyen 2 hatvány, ezért érdemes mindet átírni 2 valamilyen hatványává. `4=2^2, 8=2^3, 32=2^5`
Lehetne, dfe nem érdemes a negatív hatványból reciprokot csinálni. Így könnyebb lesz sorba rakni majd őket.
Ezek lesznek így a hatványok:
a) `2^(-3/5)`
b) `4^(-4/3)=(2^2)^(-4/3)=2^(2·(-4/3))=2^(-8/3)`
c) `root(5)(8^(-2))=8^(-2/5)=(2^3)^(-2/5)=2^(-6/5)`
d) `root(3)(32^(-1))=32^(-1/3)=(2^5)^(-1/3)=2^(-5/3)`
e) `root(8)(8^(-3))=8^(-3/8)=(2^3)^(-3/8)=2^(-9/8)`

Ezek mind 2 alapú hatványok, a kitevőket kell sorba rakni: először a legkisebb (vagyis ami a legnagyobb negatív szám) :
`-8/3, -5/3, -6/5, -9/8, -3/5`
tehát a növekvő sorrend `b, d, c, e, a`