Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Tömegvonzás

281
1.Hogy hataroznank, meg a Föld belsejében r/2 tavolsagban a nehezsegi gyorsulast? Miert nehez ezt meghatarozni?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Fizika

Válaszok

2
1)
Egy üreges gömbhéj belsejében a nehézségi gyorsulás nulla. Vagyis a gömbhéjat nem kell figyelembe venni, csak az `R/2` sugarú gömböt.
`g=G·M/R^2`
Ha a sugár a fele, akkor a nevezőben lévő négyzet miatt már négyszereződik a `g` (a negyedével osztunk). A tömeg viszont `4/3r^3π`, köbös. A fél sugár nyolcad tömeget jelent. Összességében tehát `4/8=`fele lesz a `g`.
0

2) Lapos Föld.
Erre a levezetésre nem én magam jöttem rá, ebben a cikkben olvastam:
https://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/artigos/2014_preprint_tort_1.pdf

Newton gravitációs törvényének (`g=G·M/R^2`) van egy Gauss-féle formája is, ami a gravitációs fluxusról szól:
`Φ=oint_A bbg\ dbbA=-4πGM`
vagyis egy zárt `A` felületen átmenő gravitációs fluxus (gravitációs erővonalak "száma", sima esetben `g·A`) arányos a felület által körbezárt `M` tömeggel. (Azért negatív az előjel, mert a gravitációs gyorsulás iránya ellentétes a felület normálvektorával.)
(Nem kell megijedni a felületi integráltól, nem lesz rá szükség.)

Vegyünk egy jó nagy lapos Földet, aminek sugara sokkal nagyobb, mint a `H` vastagsága. Ennek a közepéhez közel a `bbg` vektor merőleges a felületre (a széleken egyáltalán nem merőleges, ott "elfekszik", hisz majd minden tömeg tőle oldalra van, a középpont felé.)

Vegyünk most a lapos felszín közepének a környékén egy henger alakú felületet, aminek az alapjai a lapos Föld fölött és alatt vannak a felülettel párhuzamosan, a henger sugara meg nem túl nagy, azon a területen belül végig merőleges a `g` a felszínre. Ezen a Gauss felületen fogjuk számolni a fluxust.

Ez a számolás csak közelítő eredményt fog adni, azért, mert feltételezzük, hogy a `g` merőleges a Föld-felszínre elég nagy tartományban. Egy lapos Földön ez nem igaz, csupán a középpontjában.

A Föld sűrűsége legyen `ρ`, vastagsága `H`, a henger alakú Gauss felület alapjának területe `A`. Ennek a belsejében lévő tömeg ennyi:
`M=ρAH`
A `bbg` csak a henger alapjainál merőleges a felületre, ott metszik az "erővonalak" a felületet, a hengerpalástot nem metszik sehol. A gravitációs fluxus tehát könnyen számolható, az integrálból csak ennyi lesz:
`Φ=-2gA`
(azért dupla, mert az alsó és felső alaplapon is átmennek az erővonalak.)

A Gauss törvény szerint:
`Φ=-4πGM`
`-2gA=-4πGM`
`g=2πG·M/A`
`g=2πG·ρH`

Ennek azonosnak kell lenni azzal az értékkel, amit mi tapasztalunk a nagyjából gömb alakú, `(4π)/3 R^3` térfogatú, `ρ` sűrűségű Földön, vagyis ezzel:
`g=(G·M_"Föld")/R^2=G/R^2·ρ(4π)/3 R^3=(4π)/3 G·ρR`
Vagyis
`2πG·ρH=(4π)/3 G·ρR`
`H=2/3 R`

Jó vastag lapos Föld jött ki: `2/3·6370\ km≈4247\ km`
Persze a Föld-korongnak ennél sokkal szélesebbnek, nagyobb sugarúnak kell lennie, hogy a `g` függőleges legyen a közepén viszonylag széles tartományban... arra nem kellett becslést adni, de elérne talán a Holdig is.
0