2) Lapos Föld.
Erre a levezetésre nem én magam jöttem rá, ebben a cikkben olvastam:
https://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/artigos/2014_preprint_tort_1.pdf
Newton gravitációs törvényének (`g=G·M/R^2`) van egy Gauss-féle formája is, ami a gravitációs fluxusról szól:
`Φ=oint_A bbg\ dbbA=-4πGM`
vagyis egy zárt `A` felületen átmenő gravitációs fluxus (gravitációs erővonalak "száma", sima esetben `g·A`) arányos a felület által körbezárt `M` tömeggel. (Azért negatív az előjel, mert a gravitációs gyorsulás iránya ellentétes a felület normálvektorával.)
(Nem kell megijedni a felületi integráltól, nem lesz rá szükség.)
Vegyünk egy jó nagy lapos Földet, aminek sugara sokkal nagyobb, mint a `H` vastagsága. Ennek a közepéhez közel a `bbg` vektor merőleges a felületre (a széleken egyáltalán nem merőleges, ott "elfekszik", hisz majd minden tömeg tőle oldalra van, a középpont felé.)
Vegyünk most a lapos felszín közepének a környékén egy henger alakú felületet, aminek az alapjai a lapos Föld fölött és alatt vannak a felülettel párhuzamosan, a henger sugara meg nem túl nagy, azon a területen belül végig merőleges a `g` a felszínre. Ezen a Gauss felületen fogjuk számolni a fluxust.
Ez a számolás csak közelítő eredményt fog adni, azért, mert feltételezzük, hogy a `g` merőleges a Föld-felszínre elég nagy tartományban. Egy lapos Földön ez nem igaz, csupán a középpontjában.
A Föld sűrűsége legyen `ρ`, vastagsága `H`, a henger alakú Gauss felület alapjának területe `A`. Ennek a belsejében lévő tömeg ennyi:
`M=ρAH`
A `bbg` csak a henger alapjainál merőleges a felületre, ott metszik az "erővonalak" a felületet, a hengerpalástot nem metszik sehol. A gravitációs fluxus tehát könnyen számolható, az integrálból csak ennyi lesz:
`Φ=-2gA`
(azért dupla, mert az alsó és felső alaplapon is átmennek az erővonalak.)
A Gauss törvény szerint:
`Φ=-4πGM`
`-2gA=-4πGM`
`g=2πG·M/A`
`g=2πG·ρH`
Ennek azonosnak kell lenni azzal az értékkel, amit mi tapasztalunk a nagyjából gömb alakú, `(4π)/3 R^3` térfogatú, `ρ` sűrűségű Földön, vagyis ezzel:
`g=(G·M_"Föld")/R^2=G/R^2·ρ(4π)/3 R^3=(4π)/3 G·ρR`
Vagyis
`2πG·ρH=(4π)/3 G·ρR`
`H=2/3 R`
Jó vastag lapos Föld jött ki: `2/3·6370\ km≈4247\ km`
Persze a Föld-korongnak ennél sokkal szélesebbnek, nagyobb sugarúnak kell lennie, hogy a `g` függőleges legyen a közepén viszonylag széles tartományban... arra nem kellett becslést adni, de elérne talán a Holdig is.