Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Tömegvonzás

33
1.Hogy hataroznank, meg a Föld belsejében r/2 tavolsagban a nehezsegi gyorsulast? Miert nehez ezt meghatarozni?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Fizika

Válaszok

2
1)
Egy üreges gömbhéj belsejében a nehézségi gyorsulás nulla. Vagyis a gömbhéjat nem kell figyelembe venni, csak az `R/2` sugarú gömböt.
`g=G·M/R^2`
Ha a sugár a fele, akkor a nevezőben lévő négyzet miatt már négyszereződik a `g` (a negyedével osztunk). A tömeg viszont `4/3r^3π`, köbös. A fél sugár nyolcad tömeget jelent. Összességében tehát `4/8=`fele lesz a `g`.
0

2) Lapos Föld.
Erre a levezetésre nem én magam jöttem rá, ebben a cikkben olvastam:
https://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/artigos/2014_preprint_tort_1.pdf

Newton gravitációs törvényének (`g=G·M/R^2`) van egy Gauss-féle formája is, ami a gravitációs fluxusról szól:
`Φ=oint_A bbg\ dbbA=-4πGM`
vagyis egy zárt `A` felületen átmenő gravitációs fluxus (gravitációs erővonalak "száma", sima esetben `g·A`) arányos a felület által körbezárt `M` tömeggel. (Azért negatív az előjel, mert a gravitációs gyorsulás iránya ellentétes a felület normálvektorával.)
(Nem kell megijedni a felületi integráltól, nem lesz rá szükség.)

Vegyünk egy jó nagy lapos Földet, aminek sugara sokkal nagyobb, mint a `H` vastagsága. Ennek a közepéhez közel a `bbg` vektor merőleges a felületre (a széleken egyáltalán nem merőleges, ott "elfekszik", hisz majd minden tömeg tőle oldalra van, a középpont felé.)

Vegyünk most a lapos felszín közepének a környékén egy henger alakú felületet, aminek az alapjai a lapos Föld fölött és alatt vannak a felülettel párhuzamosan, a henger sugara meg nem túl nagy, azon a területen belül végig merőleges a `g` a felszínre. Ezen a Gauss felületen fogjuk számolni a fluxust.

Ez a számolás csak közelítő eredményt fog adni, azért, mert feltételezzük, hogy a `g` merőleges a Föld-felszínre elég nagy tartományban. Egy lapos Földön ez nem igaz, csupán a középpontjában.

A Föld sűrűsége legyen `ρ`, vastagsága `H`, a henger alakú Gauss felület alapjának területe `A`. Ennek a belsejében lévő tömeg ennyi:
`M=ρAH`
A `bbg` csak a henger alapjainál merőleges a felületre, ott metszik az "erővonalak" a felületet, a hengerpalástot nem metszik sehol. A gravitációs fluxus tehát könnyen számolható, az integrálból csak ennyi lesz:
`Φ=-2gA`
(azért dupla, mert az alsó és felső alaplapon is átmennek az erővonalak.)

A Gauss törvény szerint:
`Φ=-4πGM`
`-2gA=-4πGM`
`g=2πG·M/A`
`g=2πG·ρH`

Ennek azonosnak kell lenni azzal az értékkel, amit mi tapasztalunk a nagyjából gömb alakú, `(4π)/3 R^3` térfogatú, `ρ` sűrűségű Földön, vagyis ezzel:
`g=(G·M_"Föld")/R^2=G/R^2·ρ(4π)/3 R^3=(4π)/3 G·ρR`
Vagyis
`2πG·ρH=(4π)/3 G·ρR`
`H=2/3 R`

Jó vastag lapos Föld jött ki: `2/3·6370\ km≈4247\ km`
Persze a Föld-korongnak ennél sokkal szélesebbnek, nagyobb sugarúnak kell lennie, hogy a `g` függőleges legyen a közepén viszonylag széles tartományban... arra nem kellett becslést adni, de elérne talán a Holdig is.
0