Miután végigcsináltam biztos vagyok benne, hogy van egyszerűbb megoldás is, mert ez jó bonyolult lett, és fordított sorrendben jöttek ki az eredmények, mint ahogy kérdezte a feladat. (Biztos oka volt annak, hogy olyan sorrendben kérdezte.) De most már elküldöm

`xy=50`
Mivel `x > y`, ezért `x > sqrt50`
`y=50/x`
A kifejezés:
`f(x)=(x^2+50^2/x^2)/(x-50/x)=(x^4+50^2)/(x^3-50x)`
A minimumához deriválni kell:
`d/dx f(x)=(4x^3(x^3-50x)-(x^4+50^2)(3x^2-50))/(x^3-50x)^2=(x^6-150x^4-7500x^2+125000)/(x^2(x^2-50)^2)`
Jó lenne még valahogy szorzattá alakítani a számlálót is...
`=((x^2)^3-3·50(x^2)^2-3·50^2x^2+50^3)/(x^2(x^2-50)^2)`
Nagyon gyanús a számlálóban az a sok 50. Ha pluszok lennének a mínusz helyett, akkor `(x^2+50)^3` lenne éppen a számláló, szóval `x^2=-50` lenne a zérushelye (ami persze csak komplex számként értelmes...). Azért ez szöget üt az ember fejében és gyorsan ki lehet számolni, hogy ha `x^2` helyébe -50 kerül, akkor most is 0 a számláló. Ami azt jelenti, hogy ki lehet emelni `(x^2+50)`-et.
`=((x^2+50)(x^4-4·50x^2+50^2))/(x^2(x^2-50)^2)`
Még lehetne tovább is menni a szorzattá alakításban, de már elég ez is. Ez a derivált, ahol nulla az értéke, ott lehet szélsőértéke `f(x)`-nek. A nevező pozitív, az nem számít. A számlálóból pedig az első tényező mindig pozitív, csak a második számít.
`x^4-4·50x^2+50^2=0`
Legyen `z=x^2 > 50`
`z^2-4·50z+50^2=0`
`z_(12)=(200+-sqrt(16·50^2-4·50^2))/2=100+-50sqrt3`
Mivel `z > 50`, csak a pluszos gyök lehetséges:
`z=100+50sqrt3`
Mivel a `z`-s másodfokú kifejezés egy felül nyitott parabola, és ez a második gyöke, az érték negatívból pozitívba megy át, tehát a függvénynek itt minimuma van.
`x=sqrt(100+50sqrt3)`

Csak azért, hogy szebb legyen, az ilyen dupla-gyökös dolgokat át lehet alakítani egy gyökössé:
`sqrt(100+50sqrt3)=a+b·sqrt3`
`100+50sqrt3=a^2+2ab·sqrt3+3b^2`
vagyis `2ab=50` és `a^2+3b^2=100`
Ennek pedig ránézésre `a=b=5` megoldása...

Vagyis:
`x=5+5sqrt3`
`y=50/x=50/(5+5sqrt3)=(50(5-5sqrt3))/(25-75)=5sqrt3-5`

A minimum értéke:
`x^2+y^2=(100+50sqrt3)-(50sqrt3-100)=200`
`x-y=10`
Tehát a tört minimális értéke `20`

`x/y=(5sqrt3+5)/(5sqrt3-5)=(sqrt3+1)/(sqrt3-1)=(sqrt3+1)^2/(3-1)=2+sqrt3`

Egyszerű megoldás a számtani-mértani közepek egyenlőtlenségével:
(Tegnap is gondoltam már rá, csak rossz irányba indultam el azzal, hogy kiejtettem az első lépésben az `y`-t, és úgy más irányba alakul a dolog...)

`x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=(x-y)^2+100`
A tört pedig:
`T=((x-y)^2+100)?(x-y)=(x-y)+100/(x-y)`
`T/10=(x-y)/10+10/(x-y)`
Legyen `z=(x-y)/10`
`T/10=z+1/z`
`T/20=(z+1/z)/2 ≥ sqrt(z·1/z)=1` a számtani-mértani közepek egyenlőtlensége miatt.
Vagyis:
`T ≥ 20`
Tehát 20 a lehetségesw minimum.

Akkor veszi ezt fel, ha `z=1/z`, vagyis `z=1`
`x-y=10`
`xy=50`
amiből `x=5+5sqrt3` jön ki a nagyobbik értéknek, `y` pedig a kisebbik, `5sqrt3-5`

Az `x/y` most se jön ki anélkül, hogy `x` meg `y` meglenne, tehát még mindig van valamilyen másik megoldás is.