Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matekfeladat

28
Hogyan lehet az a és b számot kiszámitani?

a= 2015/2014+2014/2013+...+3/3+2/1

b=1/2+1/2+...+1/2013+1/2014
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Gondolom 3/3 helyett 3/2 van, illetve b-nél az első 1/2 helyett 1/1.

`a=sum_(k=1)^2014 (k+1)/k=sum_(k=1)^2014 1+1/k=2014+sum_(k=1)^2014 1/k`
vagyis ezt ki lehet fejezni `b`-vel, hisz
`b=sum_(k=1)^2014 1/k`
vagyis
`a=2014+b`

A szumma közelíthető 1/x integráljával. A szumma valójában az integrál alsó vagy felső közelítő összege, attól függ, mettől meddig szummázunk.
Tekintsük tehát ezt a határozott integrált először:
`int_1^2014 1/x dx`
Ennek felső közelítő összege ez: `sum_(k=1)^2013 1/k = b-1/2014`
Az alsó közelítő összeg pedig: `sum_(k=2)^2014 1/k = b-1/1`
Vagyis:
`b-1 < int_1^2014 1/x dx < b-1/2014`
Az alsó és felső közelítő összegek átlaga jól közelíti az integrál pontos értékét:
`int_1^2014 1/x dx ≈ b-1/2-1/4028`

Az integrál:
`int_1^2014 1/x dx = ["ln"\ x]_1^2014="ln"\ 2014`
Tehát:
`b ≈ ("ln"\ 2014) +1/2+1/4028`
`b ≈ 8.108`

és `a ≈ 2022.108`

-------------
A pontos értékek egyébként:
`b = 8.185` : https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_%28k%3D1%29%5E2014+1%2Fk
`a = 2022.185` : https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_%28k%3D1%29%5E2014+%28k%2B1%29%2Fk
-1