Az első taktika az ilyen típusú függvényeknél, hogy kiszámolod a számláló és a nevező gyökeit, aztán átírod gyöktényezős alakba, végül látod, hogy mivel lehet egyszerűsíteni, például, ha mindkettőnek gyöke az 5, akkor a gyöktényezős alakban lesz (x-5), és ezekkel tudsz egyszerűsíteni.

Ebben az esetben a számlálónak nincs is gyöke, úgyhogy ezzel nem tudunk mit kezdeni, így másik utat kell választanunk; először kiemelünk 2-t a nevezőből:

(1/2) * (x²-2x+2)/(x-1), ezután a számlálót teljes négyzetté alakítjuk:
(1/2) * ((x-1)²+1)/(x-1), és itt már tudunk osztani:
(1/2) * (x-1 +1/(x-1))

Ha most elfeledkezünk az 1/2-ről, akkor egy olyan függvényt kapunk, ahol egy szám és annak a reciprokának összege látható. A függvénytranszformációs szabályok szerint arra is hamar rá lehet jönni, hogy az x+(1/x) függvény eltoltja, ezt könnyen tudjuk ábrázolni, mivel az x=1 helyen minimuma van, ami 2, egyébként x≥1-re igaz az, hogy f(c)=f(1/c), tehát például az f(5) helyen ugyanazt a függvényértéket veszi fel, mint az f(1/5) helyen. Arra is hamar rá lehet jönni, hogy ez a függvény páratlan, vagyis f(x)=-f(-x) teljesül, tehát az x>0 ágát csak tükrözni kell az origóra. Ha ezzel megvagyunk, akkor az (1/2)-es szorzó miatt össze kell lapítani a függvény, aztán hogy (1/2)*(x+(1/x))-ből (1/2)*(x-1+(1/(x-1)) legyen, el kell tolni 1-gyel jobbra.

A WolframAlpha egyébként szépen kirajzolja a függvényt:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E2-2x%2B2)%2F(2x-2)

Általános iskolában megtanultuk, hogy például (2/9)+(5/9)=(2+5)/9=7/9. Értelemszerűen ez egy megfordítható művelet, tehát a 7/9-ből tudunk (2/9)+(5/9)-et csinálni.

Ebben a feladatban is ugyanezt a történet: ((x-1)²+1)/(x-1)=(x-1)²/(x-1) + 1/(x-1), az első tört értéke x-1, tehát eredménynek (x-1) + 1/(x-1)-et kapunk.