1) Mivel a függvény páros, ezért felírható így:

2*int₀∞(1/(x⁴+1)) dx

Az nem nagy varázslat, hogy a [0;1] intervallumon véges. Az [1;∞) intervallumon felülről tudjuk becsülni az 1/x⁴ függvénnyel, erről pedig tudjuk, hogy véges, így az 1/(x⁴+1) is véges lesz.

Véges+véges=véges, 2*véges=véges, tehát az integrál véges lesz.

2) Erre nem tudok (még) egzakt megoldást, de a függvény alulról becsülhető az 1/x függvénnyel, ha x≥94: http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(ln(x))%5E3%3E1%2Fx. Az 1/x függvényről tudjuk, hogy nem véges az [1;∞) intervallumon, így értelemszerűen a [94;∞) intervallumon sem lesz véges, és mivel ez alsó becslése az 1/ln³(x)-nek, ezért ennek a végtelenben vett integrálja sem lesz véges.

3) Vonjunk ki a függvényből 3/x³-ont, de adjuk is hozzá, hogy értéke ne változzon, ekkor ezt kapjuk:

int((cos(2x)-sin(x)-3)/x³ dx - int(3/x³) dx

Az első függvény így minden x-re pozitív lesz. Ez a függvény felülről becsülhető -4/x³-bel, erről pedig tudjuk, hogy végtelenben vett integrálja véges. A 3/x³ integrálja is véges, véges-véges=véges.

Ha a másodikra eszembe jut még valami, akkor megírom, de hogy végtelen az integrál, az biztos.