Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Paraméteres egyenlőtlenségek

73
Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenséget, ahol p valós paraméter!
-2x² + 9 - 5p < 0

Kérnék szépen rövid magyarázatot az egyes lépésekről.
Köszönöm.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Az, hogy `p` paraméter, az csak annyit jelent, hogy ugyanolyan, mintha konkrét szám lenne ott, csak éppen a betűvel kell "számolni" és figyelembe kell venni, hogy a `p` egyes értékeinél esetleg más-máshogy viselkedik a kifejezés.

Maga az egyenlőtlenség `x`-ben másodfokú, a megoldóképlettel lehet a gyökeit (null-helyeit) megtalálni; azt gondolom tudod fejből:
`x_(12)=(0+-sqrt(0-4·(-2)·(9-5p)))/(2·(-2))=(+-sqrt(72-40p))/4`

`p` értékétől függően a gyök alatt 3-féle helyzet alakulhat ki, vagyis a diszkrimináns 3-féle lehet:

`bb"a)"` A diszkrimináns pozitív akkor, ha `72-40p > 0`
Vagyis ha `p < 72/40`
Ekkor két gyöke (zérushelye) van a másodfokú kifejezésnek. Nem az viszont a kérdés, hogy mikor nulla, hanem hogy mikor negatív. Mivel az `x^2` együtthatója (a `-2`) negatív, ezért a másodfokú kifejezés képe (ami egy parabola egyébként) felfelé zárt, lefelé megy a mínusz végtelenba. Ezért az `x_1` és `x_2` gyökök között pozitív, azokon kívül negatív a bal oldal.

Vagyis a válasz egyik része ez:
Ha `p < 72/40`, akkor `x < (-sqrt(72-40p))/4` valamint `x > (sqrt(72-40p))/4` a megoldás.

`bb"b)"` A diszkrimináns nulla akkor, ha `72-40p = 0`
Vagyis ha `p = 72/40`
A megoldóképletből ennyi marad:
`x_(12)=(0+-sqrt(0))/4=0`
Ekkor egyetlen egy pontban (`x=0`) érinti a parabola a vízszintes tengelyt, minden más esetben alatta megy, negatív. Vagyis a válasz második része:
Ha `p = 72/40`, akkor `x ne 0` a megoldás.

`bb"c)"` A diszkrimináns negatív akkor, ha `72-40p < 0`
Vagyis ha `p > 72/40`
Ekkor nincs gyöke a kifejezésnek. A parabola nem metszi a tengelyt, alatta van. Tehát mindig negatív az értéke. Vagyis a válasz harmadik része:
Ha `p > 72/40`, akkor minden valós `x` megoldás.
Módosítva: 4 hónapja
0