Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

LV-eloszlás- és sűrűségfüggvény

30
Egy gyök8 átfogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög belsejében választunk egy pontot véletlenszerűen. Legyen Y a választott pont és a közelebb eső befogó távolsága. Adjuk meg Y eloszlás- és sűrűségfüggvényét, várható értékét!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
A háromszög befogói 2 hosszúak, a területe 2. Legyen a derékszög az origónál, a befogók meg a tengelyeken.
Rajzold be az origóból a 45 fokos egyenest. Ez két kis derékszögű egyenlő oldalú háromszögre bontja a teljes háromszöget. Ami pontok ez alatt vannak, azoknál a pont y koordinátája adja Y értékét, a 45 fokos egyenes felettieknél pedig az x koordináta.

A két kis háromszög teljesen azonosan működik; vehetjük csak a 45 fokos alattit, az értékeket pedig majd duplázni kell. Illetve mivel a valószínűség úgy jön ki, hogy a területet elosztjuk a teljes háromszög területével, ezért ha csak az egyik kis háromszögben számolunk, annak a területével kell csak osztanunk. (Kicsit máshogy fogalmazva: Legyen mondjuk egy `T` terület az alsó háromszögben, aminek van egy párja a felsőben is, a 45 fokos tengelyre szimmetrikusan. Annak a valószínűsége, hogy ebbe a két `T` területre esik a választás, az `(2T)/T_"összes"=T/T_"kicsi"`.)

A sürüségfüggvény így alakul az alsó kis háromszögnél:
Mivel a kis háromszög területe éppen 1, ezért 1-gyel kell osztani minden kiszámolt mennyiséget (területet, illetve most a sűrűségfüggvénynél hosszúságot)
- y=0 lesz az Y értéke a befogó (x tengely) minden pontján (a vízszintes szakaszon). Annak hossza `2`.
- y=1 lesz az Y értéke egyetlen egy pontban, az átfogó felezőpontjában. Annak hossza `0`.
- Ezek között y magasságban a vízszintes egyenesnek a kis háromszögben lévő része `x_1=y` és `x_2=2-y` között megy, vagyis a hossza `2-2y`

A sűrűségfüggvény tehát ez:
`f_Y(y)= {
(2-2y, "ha " 0 ≤ y ≤ 1),
(0, "egyébként")
:}`

Eloszlásfüggvény 0 és 1 között:
`F_Y(x)=int_0^x 2-2y\ dy=2x-x^2`
`x < 0` esetén 0, `x > 1` esetén pedig 1.
(Ellenőrzés: `F_Y(1)=1` kell legyen... annyi.)

A várható érték:
`E(Y)=int_0^1 x·f_Y(x)\ dx =int_0^1 2x-2x^2\ dx =[x^2-2/3 x^3]_0^1=1/3`
0