Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Elgondolkodtató matek feladatok

240
Csatoltam képet.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

5
1)
Bontsul fel a négyzetet sok kicsire, aztán vonjunk össsze néhányat nagyobb négyzetekké. 2x2=4, 3×3=9, 4×4=16, stb. méretűeket csinálhatunk.

Ha kiindulunk 5×5-ös kis négyzetekből, akkor két kicsiből kellene egy nagyobbat csinálni, hogy 24 legyen, az nem megy.

Ha 6×6-osból indulunk ki (36=24+12), akkor ha összevonunk kicsiket `n` darab nagyobbra, akkor `12+n` kis négyzetből kell `n` nagyot csinálni. 4 darab 2×2-es éppen kijön! `bb"Megoldás!"`

7×7-esből: 49-24=25, `25+n` kicsiből lesz `n` nagy.
- 25+1 nem négyzetszám
- 25+2 nem lehet két négyzetszám összege
- 25+3 nem lehet 3 négyzetszám összege
- 25+4 nem lehet 4 négyzetszám összege (16+9+4 csak három)
- 25+5 = 9+9+4+4+4, `bb"megoldás!"`

8×8-asból: 64-24=40, `40+n` kicsiből lesz `n` nagy.
45 = 9+9+9+9+9, `bb"megoldás!"`

Keress még többet is.
1

2)
Összesen lehet `9*10*10*10*10` szám (mert elől nem lehet 0)

Amiben NINCS se 6, se 9: `7*8*8*8*8` darab (mert elől nem lehet se 0, se 6, se 9, a többin nem lehet 6 vagy 9.)

Amiben NINCS 6-os: `8*9*9*9*9`
Ezek között olyanok is vannak, amikben nincs se 6, se 9...

Amiben NINCS 9-es: `8*9*9*9*9`
Ezek között olyanok is vannak, amikben nincs se 6, se 9...

Vagyis amikben nincs akár a 6, akár a 9, akár mindkettő: `2·8·9^4-7·8^4`
Amikben pedig van mindkettő, az a maradék: `9·10^4-2·8·9^4+7·8^4`
Módosítva: 4 éve
1

3)
Első közelítésben 5 fehér és 3 fekete az egyik szélső helyzet, 7 fehér és 1 fekete a másik. Viszont egyik sem lehetséges elrendezés! Mindjárt látjuk, miért.

A tábla egyik átlója csupa fekete, a másik átló csupa fehér.
Induljunk ki a csupa fehér átlóból. Ez egyébként nem megengedett elrendezés, de ez a legegyszerűbb, amikor minden sorban és oszlopban van bábu. Ebből előállítható minden más lehetséges állás úgy, hogy egy lépésben két sort felcserélünk.
Ha a két sorban a bábuk oszlopainak a távolsága páratlan (mondjuk egymás mellett vannak), akkor mindkettőből fekete lesz.
Ha a két sorban a bábuk oszlopainak a távolsága páros, akkor mindkettő továbbra is fehér marad.
Vagyis mindig páros lesz a fehérek illetve a feketék száma is. Tehát 6 fehér és 2 fekete az egyetlen feltételeknek megfelelő elrendezés. 4 a különbség.
Módosítva: 4 éve
1

4)
- 4 egyforma meg 3 egyforma nem lehetséges a feladat szerint.
- Ha 2 fagyiból kér duplát, akkor abab vagy baba sorrendben lehetnek. `((8),(2))` a lehetséges kombinációk száma, hogy melyik 2 fagyiból lesz dupla, ennek a duplája pedig a lehetséges négygombócosok száma. Az összesen `8·7`.
- Ha 1 fagyiból kér duplát, akkor abac, abca, baca lehetséges sorrendek vannak, plusz még ugyanezek úgy, hogy b meg c helyet cserélnek. Vagyis 6-féle. A fagyi fajtája pedig : 8-féle dupla, `((7),(2))`-fajta b és c.

Add össze őket...
1

5)
Mondjuk `n` darab egymást követő szám lesz, a legkisebb a `k`.
Ezek összege egy számtani sorozat összege. A sorozat ez:
`a_1=k`
`d=1`
`n` elem.
`S_n=((k+(k+n-1))·n)/2=2020`

`(2k+n-1)·n=4040`
`n^2+(2k-1)n-4040=0`
`n=(-(2k-1)+sqrt((2k-1)^2-4·(-4040)))/2`
(Mivel `k` is természetes szám, csak a pluszos gyök jöhet szóba.)

Az `n` egész szám, ezért a diszkriminánsnak négyzetszámnak kell lennie. Ráadásul páratlannak, mert akkor lesz a számláló páros.
`D=(2k-1)^2+4·4040`
Írjuk fel ezt `(2k-1+2m)^2` alakban (azért `2m`, hogy páratlan legyen), ekkor `n` értéke ez lesz:
`n=(-(2k-1)+(2k-1+2m))/2=m`
Vagyis éppen az `n` dupláját kell hozzáadni!

És akkor a diszkrimináns `(2k-1+2n)^2` alakban:
`(2k-1+2n)^2=(2k-1)^2+4n(2k-1)+4n^2`
`4n(2k-1)+4n^2=4·4040`
`n(2k-1+n)=4040`
`n` és `(2k-1+n)` lesz a `4040` két osztója.

Tudjuk, hogy `4040 = 2^3·5·101`, vagyis az osztók száma `4·2·2=16`
Viszont mindkét osztó nem lehet páros:
- Ha `n` páros, akkor a másik osztó, `2k-1+n` páratlan.
- Ha `n` páratlan, akkor a másik osztó, `2k-1+n` páros.
Vagyis csak ellentétes paritásúak lehetnek. Jóval kevesebb lehetőség van csak, nem 16...

Fel kell írni és le kell ellenőrizni mindet:

`n` páratlan:
1) `n=1, 2k-1+n=4040`, vagyis `k=2020`
Ez nem igazi megoldás, mert csak egy szám van, nem összeg.
2) `n=5, 2k-1+n=808`, vagyis `k=402`, ez OK
3) `n=101, 2k-1+n=40`, vagyis `k=-30` nem természetes szám, nem jó...
4) `n=5·101` se lehet jó, akkor még negatívabb lenne a `k`.

`n` páros:
5) `n=2^3, 2k-1+m=505`, vagyis `k=249`, ez OK
... stb, csináld meg a többi párosat is.
1