Elgondolkodtató matek feladatok

1)
Bontsul fel a négyzetet sok kicsire, aztán vonjunk össsze néhányat nagyobb négyzetekké. 2x2=4, 3×3=9, 4×4=16, stb. méretűeket csinálhatunk.

Ha kiindulunk 5×5-ös kis négyzetekből, akkor két kicsiből kellene egy nagyobbat csinálni, hogy 24 legyen, az nem megy.

Ha 6×6-osból indulunk ki (36=24+12), akkor ha összevonunk kicsiket `n` darab nagyobbra, akkor `12+n` kis négyzetből kell `n` nagyot csinálni. 4 darab 2×2-es éppen kijön! `bb"Megoldás!"`

7×7-esből: 49-24=25, `25+n` kicsiből lesz `n` nagy.
- 25+1 nem négyzetszám
- 25+2 nem lehet két négyzetszám összege
- 25+3 nem lehet 3 négyzetszám összege
- 25+4 nem lehet 4 négyzetszám összege (16+9+4 csak három)
- 25+5 = 9+9+4+4+4, `bb"megoldás!"`

8×8-asból: 64-24=40, `40+n` kicsiből lesz `n` nagy.
45 = 9+9+9+9+9, `bb"megoldás!"`

Keress még többet is.

2)
Összesen lehet `9*10*10*10*10` szám (mert elől nem lehet 0)

Amiben NINCS se 6, se 9: `7*8*8*8*8` darab (mert elől nem lehet se 0, se 6, se 9, a többin nem lehet 6 vagy 9.)

Amiben NINCS 6-os: `8*9*9*9*9`
Ezek között olyanok is vannak, amikben nincs se 6, se 9...

Amiben NINCS 9-es: `8*9*9*9*9`
Ezek között olyanok is vannak, amikben nincs se 6, se 9...

Vagyis amikben nincs akár a 6, akár a 9, akár mindkettő: `2·8·9^4-7·8^4`
Amikben pedig van mindkettő, az a maradék: `9·10^4-2·8·9^4+7·8^4`

3)
Első közelítésben 5 fehér és 3 fekete az egyik szélső helyzet, 7 fehér és 1 fekete a másik. Viszont egyik sem lehetséges elrendezés! Mindjárt látjuk, miért.

A tábla egyik átlója csupa fekete, a másik átló csupa fehér.
Induljunk ki a csupa fehér átlóból. Ez egyébként nem megengedett elrendezés, de ez a legegyszerűbb, amikor minden sorban és oszlopban van bábu. Ebből előállítható minden más lehetséges állás úgy, hogy egy lépésben két sort felcserélünk.
Ha a két sorban a bábuk oszlopainak a távolsága páratlan (mondjuk egymás mellett vannak), akkor mindkettőből fekete lesz.
Ha a két sorban a bábuk oszlopainak a távolsága páros, akkor mindkettő továbbra is fehér marad.
Vagyis mindig páros lesz a fehérek illetve a feketék száma is. Tehát 6 fehér és 2 fekete az egyetlen feltételeknek megfelelő elrendezés. 4 a különbség.

4)
- 4 egyforma meg 3 egyforma nem lehetséges a feladat szerint.
- Ha 2 fagyiból kér duplát, akkor abab vagy baba sorrendben lehetnek. `((8),(2))` a lehetséges kombinációk száma, hogy melyik 2 fagyiból lesz dupla, ennek a duplája pedig a lehetséges négygombócosok száma. Az összesen `8·7`.
- Ha 1 fagyiból kér duplát, akkor abac, abca, baca lehetséges sorrendek vannak, plusz még ugyanezek úgy, hogy b meg c helyet cserélnek. Vagyis 6-féle. A fagyi fajtája pedig : 8-féle dupla, `((7),(2))`-fajta b és c.

Add össze őket...

5)
Mondjuk `n` darab egymást követő szám lesz, a legkisebb a `k`.
Ezek összege egy számtani sorozat összege. A sorozat ez:
`a_1=k`
`d=1`
`n` elem.
`S_n=((k+(k+n-1))·n)/2=2020`

`(2k+n-1)·n=4040`
`n^2+(2k-1)n-4040=0`
`n=(-(2k-1)+sqrt((2k-1)^2-4·(-4040)))/2`
(Mivel `k` is természetes szám, csak a pluszos gyök jöhet szóba.)

Az `n` egész szám, ezért a diszkriminánsnak négyzetszámnak kell lennie. Ráadásul páratlannak, mert akkor lesz a számláló páros.
`D=(2k-1)^2+4·4040`
Írjuk fel ezt `(2k-1+2m)^2` alakban (azért `2m`, hogy páratlan legyen), ekkor `n` értéke ez lesz:
`n=(-(2k-1)+(2k-1+2m))/2=m`
Vagyis éppen az `n` dupláját kell hozzáadni!

És akkor a diszkrimináns `(2k-1+2n)^2` alakban:
`(2k-1+2n)^2=(2k-1)^2+4n(2k-1)+4n^2`
`4n(2k-1)+4n^2=4·4040`
`n(2k-1+n)=4040`
`n` és `(2k-1+n)` lesz a `4040` két osztója.

Tudjuk, hogy `4040 = 2^3·5·101`, vagyis az osztók száma `4·2·2=16`
Viszont mindkét osztó nem lehet páros:
- Ha `n` páros, akkor a másik osztó, `2k-1+n` páratlan.
- Ha `n` páratlan, akkor a másik osztó, `2k-1+n` páros.
Vagyis csak ellentétes paritásúak lehetnek. Jóval kevesebb lehetőség van csak, nem 16...

Fel kell írni és le kell ellenőrizni mindet:

`n` páratlan:
1) `n=1, 2k-1+n=4040`, vagyis `k=2020`
Ez nem igazi megoldás, mert csak egy szám van, nem összeg.
2) `n=5, 2k-1+n=808`, vagyis `k=402`, ez OK
3) `n=101, 2k-1+n=40`, vagyis `k=-30` nem természetes szám, nem jó...
4) `n=5·101` se lehet jó, akkor még negatívabb lenne a `k`.

`n` páros:
5) `n=2^3, 2k-1+m=505`, vagyis `k=249`, ez OK
... stb, csináld meg a többi párosat is.