Szögelfordulás, szögsebesség

A szöggyorsulás jele béta (β) szokott lenni, nem epszilon (ε).
`β=3 "rad"/s^2`
Aztán ilyen mennyiségek érdekesek még a forgómozgás kapcsán:
`ω` (omega) a szögsebesség
`θ` (teta) a tehetetlenségi nyomaték (forgási tehetetlenség) (Lehet, hogy `I`-vel jelölitek)
`M` a forgatónyomaték (vagy simán csak nyomaték)

Az egyenes irányú mozgásnál előforduló képleteket bizonyára tudod. Felírok egy párat és mellé írom, hogy mi a megfelelő képlet forgómozgásnál:

`{:
(v=a·t,"sebesség",quad quad,ω=β·t,"szögsebesség"),
(s=1/2·a·t^2,"megtett út",quad quad,α=1/2·β·t^2,"szögelfordulás"),
(F=m·a,"erő",quad quad,M=θ·β,"forgatónyomaték"),
(E_m=1/2·m·v^2,"mozgási energia",quad quad,E_m=1/2·θ·ω^2,"forgó mozgási energia")
:}`

Figyeld meg, mennyire egy kaptafára mennek a képletek!
- A sebességnek a megfelelője a szögsebesség (`v,ω`)
- a gyorsulásnak a szöggyorsulás (`a,β`)
- az útnak a szögelfordulás (`s,α`)
- az erőnek a forgatónyomaték (`F,M`).
- a tömegnek a tehetetlenségi nyomaték (`m,θ`)

A tehetetlenségi nyomatékot így lehet kiszámolni egy pontszerű test esetén:
`θ=m·r^2`
ahol `r` a test távolsága a forgástengelytől.
Ha nem pontszerű, hanem kiterjedt a test, akkor elvileg úgy kell kiszámolni, hogy
`θ=sum_i m_i·r_i^2`
amiből a szumma helyett inkább integrál lesz, de a gyakorlatban mindenféle alakú testre már más megcsinálta az integrálást és táblázatokban ott van a képlet. Pl. itt:
https://hu.wikipedia.org/wiki/Tehetetlens%C3%A9gi_nyomat%C3%A9kok_list%C3%A1ja
Ott megtalálod, hogy tárcsa esetén ez a képlet, ha a tárcsa tengelye mentén forgatjuk:
`θ=(m·r^2)/2`
(A linken `I`-vel jelölik, én `θ`-val...)

Ez valójában a második kérdéshez kell, kezdjük azzal:

Az átmérőből (fele a sugár) meg a tömegből számold ki a test tehetetlenségi nyomatékát, aztán a forgatónyomaték (ami a kérdés) a már fentebb írt képlettel jön ki:
`M=θ·β`

Az első kérdés pedig:
Ehhez két képletből kell egyenletrendszert felírni:
`ω=β·t`
`α=1/2·β·t^2`

Oldd meg.