Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
MARKOV ÉS CSEBISEV EGYENLŐTLENSÉGEK
ELMacso
kérdése
536
A valószínűségi változó várható értéke 40, annak valószínűsége, hogy a várható értéktől legalább 6-tal eltér legfeljebb 0,25. Legalább mekkora valószínűséggel esik 30 és 25 közé.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
Matematika, valószínűség-számítás, Markov-Csebisev
Matematika, valószínűség-számítás, Markov-Csebisev
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
gyula205
megoldása
A feladat második feltételét felhasználva és a Csebisev egyenlőtlenséget
alkalmazva írhatjuk, hogy
`P(abs(xi-40) ge 6) le frac{D^2}{6^2}`, ahol `D` a `xi` v.v. szórása és
`D^2/36=0,25`.
Innen `D=3`. Innen `P(34 le xi lt 46)=0,75` és az első feltételből a `xi` v. v.
várható értéke `M=40`. Ezekből a feltételekből a Markov egyenlőtlenséget
felhasználva kapjuk, hogy`P(xi ge 46) le frac{20}{23}`, ami egy semmitmondó
és triviális `P(xi lt 46) ge frac{3}{23}` egyenlőtlenségre vezet. Egyenletes
eloszlást (vagy valamelyik eloszlás típust ) feltételezve már válaszolhatunk az
utolsó kérdésre is. Itt ismert, hogy az `M=frac{a+b}{2}` és `D=frac{b-a}{12}`.
Utóbbi egyenletrendszert megoldva adódik `a=22` és `b=58`. Tudjuk, hogy ha
`22 lt x lt 58`, akkor `F(x)=frac{x-22}{36}`. Ide behelyettesítve adódik a két
valószínűség: `F(25)=1/12` ill. `F(30)=frac{2}{9}`. Innen a `P(25 le xi lt 30) le
5/36` alsó becsléshez jutunk.
Megjegyzés:
A Markov-egyenlőtlenség nemcsak egyedi becslésekre, hanem a Csebisev-egyenlőtlenségekhez hasonló egyenlőtlenségek levezetésére is alkalmazható. Továbbá a Csebisev-egyenlőtlenséggel a `xi` v. v. `M(xi)`-től való relatív elérése nagyságának valószínűségét lehet felülről becsülni. Alkalmas átalakítással
`P(abs(frac{xi-M(xi)}{M(xi)}) ge epsilon) le frac{1}{epsilon^2}*(frac{D(xi)}{M(xi)})^2`,
ahol ismerni kell az aktuális v. v. `v=frac{D(xi)}{M(xi)}` relatív szórását. `25 le xi lt 30` esetén `abs(frac{xi-40}{40} ge 0,25)`. Az eloszlás tipusától függetelenül még kinyerhető
`P(abs(frac{xi-40}{40}) ge 0,25) le frac{1}{0,25^2}*(frac{3}{40})^2=0,09` becslés is.
alkalmazva írhatjuk, hogy
`P(abs(xi-40) ge 6) le frac{D^2}{6^2}`, ahol `D` a `xi` v.v. szórása és
`D^2/36=0,25`.
Innen `D=3`. Innen `P(34 le xi lt 46)=0,75` és az első feltételből a `xi` v. v.
várható értéke `M=40`. Ezekből a feltételekből a Markov egyenlőtlenséget
felhasználva kapjuk, hogy`P(xi ge 46) le frac{20}{23}`, ami egy semmitmondó
és triviális `P(xi lt 46) ge frac{3}{23}` egyenlőtlenségre vezet. Egyenletes
eloszlást (vagy valamelyik eloszlás típust ) feltételezve már válaszolhatunk az
utolsó kérdésre is. Itt ismert, hogy az `M=frac{a+b}{2}` és `D=frac{b-a}{12}`.
Utóbbi egyenletrendszert megoldva adódik `a=22` és `b=58`. Tudjuk, hogy ha
`22 lt x lt 58`, akkor `F(x)=frac{x-22}{36}`. Ide behelyettesítve adódik a két
valószínűség: `F(25)=1/12` ill. `F(30)=frac{2}{9}`. Innen a `P(25 le xi lt 30) le
5/36` alsó becsléshez jutunk.
Megjegyzés:
A Markov-egyenlőtlenség nemcsak egyedi becslésekre, hanem a Csebisev-egyenlőtlenségekhez hasonló egyenlőtlenségek levezetésére is alkalmazható. Továbbá a Csebisev-egyenlőtlenséggel a `xi` v. v. `M(xi)`-től való relatív elérése nagyságának valószínűségét lehet felülről becsülni. Alkalmas átalakítással
`P(abs(frac{xi-M(xi)}{M(xi)}) ge epsilon) le frac{1}{epsilon^2}*(frac{D(xi)}{M(xi)})^2`,
ahol ismerni kell az aktuális v. v. `v=frac{D(xi)}{M(xi)}` relatív szórását. `25 le xi lt 30` esetén `abs(frac{xi-40}{40} ge 0,25)`. Az eloszlás tipusától függetelenül még kinyerhető
`P(abs(frac{xi-40}{40}) ge 0,25) le frac{1}{0,25^2}*(frac{3}{40})^2=0,09` becslés is.
Módosítva: 6 éve
0
- Még nem érkezett komment!