Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Prímszámok
mateKos
kérdése
221
Három különböző prímről a következőket tudjuk: összegük oszthat´o 20-szal; a legnagyobb és a
középső összege is, különbsége is 8-ra végződik; szorzatuk kisebb 1000-n´el. Mely prímekről van
szó?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, Matematika, prímek, prímszámok, oszthatóság
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
gyula205
megoldása
Legyen tehát `p, q, r in P`; `k, l, m in Z`, valamint `p gt q gt r`; és `p*q*r lt 1000`,
ahol `P` a prímszámok halmaza.
Oldjuk meg a `p+q+r=20k`; `p+q=10l+8`; `p-q=10m+8` paraméteres egyenletrendszert.
Ekkor `p=5l+5m+8`; `q=5(l-m)`; `r=20k-20l-8`. Rögtön megállapíthatjuk, hogy
`q` csak `l-m=1` esetén lesz prímszám (`q=5`), továbbá `r` páros szám, azaz `r=2`.
Már csak az a dolgunk, hogy a legnagyobb prímet meghatározzuk. Sejthető,hogy
`p` prím 3-ra fog végződni. Néhány próbálkozás után rájövünk, hogy a feladatot a `<2, 5, 13>`,
`<2, 5, 53>` és `<2, 5, 73>` számhármasok fogják kielégíteni.
`p=13` esetén `l=1, m=0` és `k=1`;
`p=53` esetén `l=5, m=4` és `k=3`;
`p=73` esetén `l=7, m=6` és `k=4`.