Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Prímszámok

74
Három különböző prímről a következőket tudjuk: összegük oszthat´o 20-szal; a legnagyobb és a
középső összege is, különbsége is 8-ra végződik; szorzatuk kisebb 1000-n´el. Mely prímekről van
szó?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, Matematika, prímek, prímszámok, oszthatóság
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Legyen tehát `p, q, r in P`; `k, l, m in Z`, valamint `p gt q gt r`; és `p*q*r lt 1000`,
ahol `P` a prímszámok halmaza.

Oldjuk meg a `p+q+r=20k`; `p+q=10l+8`; `p-q=10m+8` paraméteres egyenletrendszert.
Ekkor `p=5l+5m+8`; `q=5(l-m)`; `r=20k-20l-8`. Rögtön megállapíthatjuk, hogy
`q` csak `l-m=1` esetén lesz prímszám (`q=5`), továbbá `r` páros szám, azaz `r=2`.
Már csak az a dolgunk, hogy a legnagyobb prímet meghatározzuk. Sejthető,hogy
`p` prím 3-ra fog végződni. Néhány próbálkozás után rájövünk, hogy a feladatot a `<2, 5, 13>`,
`<2, 5, 53>` és `<2, 5, 73>` számhármasok fogják kielégíteni.
`p=13` esetén `l=1, m=0` és `k=1`;
`p=53` esetén `l=5, m=4` és `k=3`;
`p=73` esetén `l=7, m=6` és `k=4`.
Módosítva: 8 hónapja
0