Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Valószínűség számítás

111
Egy vizsgán a hallgatók 60% vizsgázik sikeresen. Adjunk becslést annak
valószínűségére, hogy egy alkalommal a 100 vizsgázóból a sikeresen vizsgázók száma 50
és 68 közé esik.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2
A binomiális eloszlás képlete kell:

`p_k=P(xi=k)=((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)`, ahol `p=0,6`

Nem akarjuk mind a 19 valószínűség értékét
kiszámolni külön-külön. A becslést
`(p_50+2*p_60+p_68)*19/4` szerint végezzük el.
Ekkor:
`P(50 le xi le 68)~(2*0,0812+0,0103+0,0216)*19/4=0.922`

Ellenőrzés `sum_(k=50)^(68)((100),(k))*0.6^k*0.4^(100-k)`-al a Wolframalpha segítségével.
Módosítva: 8 hónapja
1

Az is becslés, amit gyula205 írt, de nem úgy szokták csinálni, hanem a centrális határeloszlás tételével. Vagyis a binomiális eloszlás sok minta esetén (most 100) becsülhető normális eloszlással.

A binomiális eloszlásról ezeket az adatok ismerjük:
`p=0.6`
`µ=n·p=60`
`σ^2=n·p·(1-p)=24` vagyis `σ=4.899`
Ugyanilyen `μ` és `σ` paraméterű normális eloszlás lesz belőle a sok minta miatt.

Kell tehát a haranggörbéből az 50 és 68 közé eső terület. Pontosabban a 49.5 és 68.5 közé eső tartomány, mert a diszkrét binomiális eloszlást a folytonos normálissal becsüljük.

A normális eloszlást aztán a szokásos módon, standardizálva tudjuk táblázatból kiszámolni:
`ζ_1=49.5 quad → quad z_1=(ζ_1-µ)/σ=(-10.5)/4.899=-2.1433`
`ζ_2=68.5 quad → quad z_2=(ζ_2-µ)/σ=(8.5)/4.899=1.7350`

`P(49.5 < X < 68.5)=Φ(z_2)-Φ(z_1)`
A táblázatból: pl itt:
http://math.bme.hu/~eczirok/dok/2018_19_01/A3/standard_normalis_eloszlas.pdf
(A táblázatban persze nem elég nagy pontossággal vannak a számok, interpolálni kell)
`Φ(z_2)=0.9587`
Mivel `z_1` negatív, `Φ(z_1)=1-Φ(-z_1)=1-0.9839=0.0161`
Vagyis a végeredmény:
`P(49.5 < X < 68.5)=0.9426`

------------
Kis mese: Az egész becslés dolog arra lett kitalálva, hogy ne kelljen sokat számolni. Türelmes matematikusok kiszámoltak nagy táblázatokat a standardizált normális eloszláshoz, mi meg használhatjuk azokat kevés kézi számolással. (Kevesebbel, mint ahogy mondjuk gyula205 számolta.)
A mai számítógépes időkben ennek már nincs nagy jelentősége, gyorsan ki lehet számolni a binomiális eloszlás pontosan értékét:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=for+k%3D50+to+68+sum+C%28100%2Ck%290.6%5Ek%C2%B70.4%5E%28100-k%29
A pontos érték tehát `0.94339`, a becslésünk egész jó lett....
Módosítva: 8 hónapja
0