Mátrixos diff egyenlet

Számítsuk ki először az együtthatómátrix sajátértékeit és sajátvektorait:

`|(1-lambda,3),(3,1-lambda)|``=``(1-lambda)^2-9``=``(1-lambda-3)(1-lambda+3)``=``(lambda+2)(lambda-4)`

Tehát a sajátértékek: `lambda_1=-2` és `lambda_2=4`.

A `lambda_1` sajátértékhez tartozó sajátvektor:

`\mathbf{A}\mathbf{v}_1=lambda_1 \mathbf{v}_1`

`\mathbf{A}\mathbf{v}_1-lambda_1 \mathbf{v}_1=\mathbf{0}`

`(\mathbf{A}-lambda_1 \mathbf{I})\mathbf{v}_1=\mathbf{0}`

`[[3,3],[3,3]][[v_{11}],[v_{12}]]=[[0],[0]]`

Innen `v_{11}=-v_{12}`, tehát például a `\mathbf{v}_1=[[1],[-1]]` vektor jó lesz.

A `lambda_2` sajátértékhez tartozó sajátvektor:

`\mathbf{A}\mathbf{v}_2=lambda_2 \mathbf{v}_2`

`\mathbf{A}\mathbf{v}_2-lambda_2 \mathbf{v}_2=\mathbf{0}`

`(\mathbf{A}-lambda_2 \mathbf{I})\mathbf{v}_2=\mathbf{0}`

`[[-3,3],[3,-3]][[v_{21}],[v_{22}]]=[[0],[0]]`

Innen `v_{21}=v_{22}`, tehát például a `\mathbf{v}_2=[[1],[1]]` vektor jó lesz.

A homogén rész (tehát az `mathbf{dot x}=\mathbf{A}\mathbf{x}` egyenlet) általános megoldása a következő:

`\mathbf{x}_h(t)=c_1 e^{lambda_1 t}\mathbf{v}_1+c_2 e^{lambda_2 t}\mathbf{v}_2``=``[[c_1 e^(-2t)+c_2 e^(4t)],[-c_1 e^(-2t)+c_2 e^(4t)]]`

Itt `c_1` és `c_2` tetszőleges konstans.

Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását keressük próbafüggvényes módszerrel. A gerjesztés konstans (`\mathbf{b}=[[1],[1]]`), tehát keressük a megoldást is konstans alakban (`\mathbf{x}_{ih}=[[alpha],[beta]]`):

`\mathbf{dot x}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{b}`

`[[0],[0]]=[[1,3],[3,1]][[alpha],[beta]]+[[1],[1]]`

`[[1,3],[3,1]][[alpha],[beta]]=[[-1],[-1]]`

`[[alpha],[beta]]=[[1,3],[3,1]]^-1 [[-1],[-1]]=[[-1/4],[-1/4]]`

A teljes inhomogén differenciálegyenlet általános megoldását megkapjuk, ha összeadjuk a homogén rész általános megoldását és az inhomogén rész egy partikuláris megoldását:

`\mathbf{x}(t)=[[c_1 e^(-2t)+c_2 e^(4t)-1/4],[-c_1 e^(-2t)+c_2 e^(4t)-1/4]]`

Mivel kezdeti feltételek nem voltak megadva, a `c_1` és `c_2` konstansok szabadon megválaszthatók.