Matematika

3.
a) Alakítsuk át egy kicsit a törtet:

`a_n=(5-n)/(6+2n)``=``((-3-n)+8)/(6+2n)``=``-1/2+8/(6+2n)``=``-1/2+4/(3+n)`

`3+n` szigorúan monoton növekedve tart a végtelenhez, ezért `4/(3+n)` szigorúan monoton csökkenve tart a nullához, az egész sorozat pedig szigorúan monoton csökkenve tart a `-1/2`-hez.

b) Az előző pont alapján nyilvánvaló, hogy a sorozat korlátos, `-1/2`-hez tart.

c) Már az a) pontban megválaszoltuk, hogy a határérték `-1/2`. Egyébként ez átalakítás nélkül, ránézésre is látszik, ugyanis az ilyen racionális törtfüggvények határértékét azonnal meg lehet állapítani, csak egyszerűsíteni kell a törtet `n` legmagasabb (jelen esetben első) hatványával:

`(5-n)/(6+2n)=(5/n-1)/(6/n+2)`

Ezután pedig a számlálóban és a nevezőben is tagonként lehet képezni a határértéket:

`(5/n-1)/(6/n+2) rightarrow (0-1)/(0+2)=-1/2`

d) Olyan `n`-et keresünk, amely után a sorozat elemei már `epsilon`-nál közelebb vannak a határértékhez:

`|a_n-(-1/2)| lt epsilon`

`4/(3+n) lt epsilon`

`n gt 4/epsilon-3=397`



4. A `log_3 (x-3)` függvény `x=4`-nél nullát vesz fel. Ez a függvény szigorúan monoton növekvő, tehát `x lt 4` esetén negatívak az értékei, `x gt 4` esetén pedig pozitívak. Ez azt jelenti, hogy a reciproka `-oo`-be tart, ha `x`-szel balról tartunk a 4-hez, és `+oo`-be tart, ha `x`-szel jobbról tartunk a 4-hez. Ugyanez igaz `(x-3)/(log_3(x-3))`-ra, mivel `x-3` folytonos a vizsgált pontban. Tehát a jobb és a bal oldali határérték különböző, vagyis a sima kétoldali határérték nem létezik. Mellékeltem grafikont.