Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Matematika

252
3. Vizsgálja meg a következő sorozatot:
4. Határozza meg a határértéket:
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
3.
a) Alakítsuk át egy kicsit a törtet:

`a_n=(5-n)/(6+2n)``=``((-3-n)+8)/(6+2n)``=``-1/2+8/(6+2n)``=``-1/2+4/(3+n)`

`3+n` szigorúan monoton növekedve tart a végtelenhez, ezért `4/(3+n)` szigorúan monoton csökkenve tart a nullához, az egész sorozat pedig szigorúan monoton csökkenve tart a `-1/2`-hez.

b) Az előző pont alapján nyilvánvaló, hogy a sorozat korlátos, `-1/2`-hez tart.

c) Már az a) pontban megválaszoltuk, hogy a határérték `-1/2`. Egyébként ez átalakítás nélkül, ránézésre is látszik, ugyanis az ilyen racionális törtfüggvények határértékét azonnal meg lehet állapítani, csak egyszerűsíteni kell a törtet `n` legmagasabb (jelen esetben első) hatványával:

`(5-n)/(6+2n)=(5/n-1)/(6/n+2)`

Ezután pedig a számlálóban és a nevezőben is tagonként lehet képezni a határértéket:

`(5/n-1)/(6/n+2) rightarrow (0-1)/(0+2)=-1/2`

d) Olyan `n`-et keresünk, amely után a sorozat elemei már `epsilon`-nál közelebb vannak a határértékhez:

`|a_n-(-1/2)| lt epsilon`

`4/(3+n) lt epsilon`

`n gt 4/epsilon-3=397`



4. A `log_3 (x-3)` függvény `x=4`-nél nullát vesz fel. Ez a függvény szigorúan monoton növekvő, tehát `x lt 4` esetén negatívak az értékei, `x gt 4` esetén pedig pozitívak. Ez azt jelenti, hogy a reciproka `-oo`-be tart, ha `x`-szel balról tartunk a 4-hez, és `+oo`-be tart, ha `x`-szel jobbról tartunk a 4-hez. Ugyanez igaz `(x-3)/(log_3(x-3))`-ra, mivel `x-3` folytonos a vizsgált pontban. Tehát a jobb és a bal oldali határérték különböző, vagyis a sima kétoldali határérték nem létezik. Mellékeltem grafikont.
1