Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matematika
t.robi01195
kérdése
268
Oldja meg a következő egyenletet a komplex számok halmazán.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy{ Polihisztor }
megoldása
A szorzat akkor lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Nézzük az első tényezőt:
`5i - (3i^255-1)/z^2=0`
Először is tudjuk, hogy `i`-nek minden 4-gyel osztható hatványa 1, tehát `i^255``=``i^252*i^2*i``=``1*(-1)*i``=``-i`. Innen:
`5i - (-3i-1)/z^2=0`
Szorozzunk be `z^2`-tel:
`5iz^2 - (-3i-1)=0`
`z^2=(-3i-1)/(5i)`
Bővítsük a törtet `i`-vel:
`z^2=(3-i)/(-5)=(i-3)/5`
Ennek a számnak az abszolút értéke `sqrt(10)/5`, szöge `pi-\text{arctg}1/3`, tehát:
t.robi01195:
Csak egy kérdésem lenne. A végén hogy kapom azokat a kerekített számokat z3 és z4-re ?
4 éve0
AlBundy:
Jobb híján számológéppel. Ha a számológéped nem tud gyököt vonni komplex számból, akkor ki kell számolnod a trigonometrikus alakot, és megcsinálni a gyökvonást úgy, ahogy az első két megoldásnál. `25+30i` abszolút értéke `5sqrt(61)`, szöge `\text{arctg}(1.2)`, tehát `25+30i=5sqrt(61) e^(i*\text{arctg}(1.2))`.
4 éve0
AlBundy:
Innen a gyökök `sqrt(25+30i)``=``pm sqrt(5sqrt(61))e^(i*1/2 \text{arctg}(1.2))``=``pm (sqrt(5sqrt(61)) cos(1/2 \text{arctg}(1.2))+i* sqrt(5sqrt(61))sin(1/2 \text{arctg}(1.2)))``~~``pm(5.6591+i2.6506)`.
4 éve0
AlBundy:
És akkor a végeredmény `z_{3,4}~~(-5 pm (5.6591+i2.6506))/6`, ez pedig már tiszta sor.
4 éve0