Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matematika

43
Oldja meg a következő egyenletet a komplex számok halmazán.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
A szorzat akkor lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Nézzük az első tényezőt:

`5i - (3i^255-1)/z^2=0`

Először is tudjuk, hogy `i`-nek minden 4-gyel osztható hatványa 1, tehát `i^255``=``i^252*i^2*i``=``1*(-1)*i``=``-i`. Innen:

`5i - (-3i-1)/z^2=0`

Szorozzunk be `z^2`-tel:

`5iz^2 - (-3i-1)=0`

`z^2=(-3i-1)/(5i)`

Bővítsük a törtet `i`-vel:

`z^2=(3-i)/(-5)=(i-3)/5`

Ennek a számnak az abszolút értéke `sqrt(10)/5`, szöge `pi-\text{arctg}1/3`, tehát:

`z^2=sqrt(10)/5 e^(i(pi-\text{arctg}1/3))`

Ennek a gyökei adják az első két megoldást:

`z_1=sqrt(sqrt(10)/5) e^(i(pi/2-1/2\text{arctg}1/3))~~0.7953 e^(1.41i)~~0.1274 + 0.7850i`

`z_2=-z_1~~0.7953 e^(-1.73i)~~- 0.1274 - 0.7850i`

Nézzük a második tényezőt:

`(5i)/(2z)-5-3z=0`

Szorozzunk be `2z`-vel:

`5i-10z-6z^2=0`

`6z^2+10z-5i=0`

Használjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét:

`z_{3,4}=(-10 pm sqrt(100-4*6*(-5i)))/12=(-5 pm sqrt(25+30i))/6`

Ezek is csúnya számok, a kerekített értékek:

`z_3~~ 0.1099 + 0.4418i`
`z_4~~ -1.7765 - 0.4418i`

Ellenőrzés: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%285i+-+%283i%5E255-1%29%2Fz%5E2%29%28%285i%29%2F%282z%29-5-3z%29%3D0
0