Akkor folytonos, ha jobb és bal oldali határértéke megegyezik, és a függvény fel is veszi a határértéket.

lim(x→0+) (sin(x)-arctg(x))/x egy 0/0 alakú függvény, tehát használható a L'Hospital-szabály, vagyis deriváljuk a számlálót és a nevezőt külön-külön:
(sin(x)-arctg(x))'=cos(x)-1/(x²+1), nevező: x'=1, tehát az cos(x)-1/(x²+1) függvény határértékét kell venni 0-ban; 1-1/(0+1)=1-1/1=0. A bal oldali határértékkel ugyanez a történet, tehát a függvény határértéke 0-ban 0. Mivel fel is veszi a 0-t, ezért a függvény folytonos.

A differenciálhatósághoz érdemes a definíciót felírni:

lim(x→x₀) (f(x)-f(x₀))/(x-x₀)=((sin(x)-arctg(x)/x)-(sin(x₀)-arctg(x₀)/x₀))/(x-x₀), ezt végig kellene számolni, végül x₀=0± -nál kellene megnézni a határértéket. Ha a bal és jobb oldali határérték megegyezik, akkor differenciálható.