Ezeket az egyenleteket kell felhasználnod

`(z^4+16)(root(3)z-i)=0`
Szorzat akkor nulla, ha bármelyik tényező nulla. Vagyis lesz egy a) meg egy b) ág:

a) `z^4+16=0`
`z^4=-16`
A legegyszerűbb exponenciális alakban felírni a komplex számot, úgy értem a -16-ot:
`-16 = 16·e^(πi)` hiszen a komplex számsíkon a negatív az balra van, szóval `π` szögben.
`z^4 = 16·e^(πi)`
Vonjunk negyedik gyököt. Ahhoz még azt kell tudni, hogy a `π` szög ugyanannyi, mint a `π+2kπ`, hisz a `2kπ` csak plusz még néhány körbeforgást jelent, de ugyanoda jut:
`z^4 = 2^4·e^((π+2kπ)i)`
Most már tudunk negyedik gyököt vonni. 4 megoldás lesz `k=0,1,2,3` értékeinél. A többi `k`-ra már ugyanazok fognak ismétlődni:
`z_1=2·e^(π/4 i)`
`z_2=2·e^((π+2π)/4 i)`
`z_3=2·e^((π+4π)/4 i)`
`z_4=2·e^((π+6π)/4 i)`
Ez a négy megoldás valójában már késznek is tekinthető. Ha fel kell írni algebrai alakba is, akkor visoznt még egy lépést kell csinálni:
`z_1=2·(cos(π/4)+i·sin(π/4))=sqrt2+i·sqrt2`
`z_2=2·(cos((3π)/4)+i·sin((3π)/4))=-sqrt2+i·sqrt2`
stb... fejezd be a szögfüggvényeket.

b) `root(3)z-i=0`
`root(3)z=i`
Emeljünk harmadik hatványra:
`z=i^3=-i`
Ez tehát az ötödik megoldás:
`z_5=-i`
Valójában nem vagyok benne biztos, hogy ez jó megoldás-e. Ugyanis ha visszaellenőrzünk, `root(3)(-i)` három különböző értéket is felvehet, amiből csak az egyik érték az `i`. A másik kettőt `(sqrt3/2-i/2 " és " -sqrt3/2-i/2)` behelyettesítve `z` helyébe, `root(3)z-i` már nem nulla. Nem tudom, ezt hogyan tanultátok, mit kell ilyenkor vele kezdeni. Lehet, hogy csak az első 4 megoldás van...

Bongolo válaszát szeretném kiegészíteni. WolframAlpha neten is elérhető programot próbáltam
segítségül hívni. `f: C rightarrow C`; `z mapsto root(3)(z)-i` komplex fügvényt vizsgálva az adódik, hogy a reális rész csak `z=0`-nál lesz zérus, míg az imaginárius rész itt -1. Következésképpen nem létezik zérushelye a bongolo által felvetett `f(z)` függvénynek. Lásd a csatolt képet.

Kiegészítés az első válaszomhoz. Utánaolvasgattam, és ezek derültek ki: (Kicsit hosszú, de szerintem érdemes végigolvasni és megérteni)

- A hatványozás veszélyes művelet egyenletmegoldásnál, mert hamis gyökök jöhetnek be. Ez valós számoknál a páros hatványoknál már középiskolában is tanult dolog (negatív szám négyzete pozitív, így négyzetreemeléskor bejöhet egy hamis gyök), komplex számoknál viszont mindegyik hatványnál lehet hasonló probléma. Ezért ha hatványozunk az egyenletmegoldásnál, akkor mindenféleképpen ellenőrizni kell az eredményt a végén, hátha csak hamis gyök.

- Valós számoknál már a gimiben is megkülönböztettük azt, hogy `x^2=4` attól, hogy `x=sqrt4`. Az első egy egyenlet, aminek két megoldása van (+2 és -2), míg a másodikban a `sqrt4` egy függvényérték, ami egyértelmű (+2). Ugyanez a helyzet komplex esetben is és nem csak a négyzetgyöknél, hanem minden gyöknél. Tehát a `root(3)x` függvénynek egy értéke van, ami a három komplex szám közül az, amit principális gyöknek hívnak. (Tehát nem az a probléma, amit az első válaszomban írtam, hogy 3 lehetséges értéket vehet fel, hanem csak annyi, hogy ellenőrizni kell a megoldást a principális értékkel.)

- A principális `n`-edik gyök definíciója sajnos nem egységes. Van, aki azt mondja, hogy az `n` lehetséges komplex szám közül az a principális, amelyiknek a valós része a legnagyobb pozitív. Más szerint amelyiknek a képzetes része pozitív. Van, aki úgy fogalmaz, hogy amikor az Euler alakkal (exponenciálsi alak) számoljuk az `n`-edik gyököt: `e^((φ+2kπ)/n i)`, akkor a `k=0`-hoz tartozó érték a principális. Sajnos ez sem egyértelmű definíció, ugyanis lehet úgy is exponenciális alakba alakítani, hogy a szög `0 ≤ φ < 2π` legyen, vagy úgy, hogy `-π < φ ≤ π` legyen. Én arra hajlok, hogy az utóbbi definíciót érdemes használni, mert a Wolfram Alpha (illetve a Mathematica nevű program) is ezt használja. Persze a kérdezőnek azt kell használnia, ahogy a tanár definiálta a komplex köbgyök függvényt.

(Megjegyzés: valós esetben a `root(3)(-8)="-2"` definíció létezik, de komplex számoknál egyik definíció esetén sem a `"-2"` lesz a principális gyök, hanem az `1+isqrt3`)

- Tehát ellenőrizni kell, hogy `root(3)(-i)-i=0` teljesül-e.
A `-i`-hez a `-π < φ ≤ π` tartományban a `φ=-π/2` szög tartozik, tehát a köbgyöke:
`root(3)(-i)=(-i)^(1/3)=e^((-π/2+0)/3 i)=sqrt3/2-i/2`
Ebből `i`-t kivonva nem nullát kapunk, ezért a `z_5="-"i` hamis gyök.

Ha viszont a `0 ≤ φ < 2π` tartományt használjuk, akkor `φ=(3π)/2` szög tartozik a `-i`-hez:
`root(3)(-i)=(-i)^(1/3)=e^(((3π)/2+0)/3 i)=i`
Ilyenkor viszont a `z_5="-"i` igazi gyöknek bizonyul, nem pedig hamisnak!

Szóval attól függ, hogyan tanultátok.

Nagyon jó, hogy bongolo előjött ezzel a kettős definicós problémával. Már több ízben volt hasonló
gondom főleg a harmadik gyökkel. Valós esetben a négyzetgyök azonosítása teljesen egyértelmű;
de mi van az n-edik gyökkel. Az egyik matekkal foglalkozó fórumon fel is vetettem azt, hogy jó
lenne valahogy azonosítani melyik principálisra gondoltak és azon belül melyik gyökre. Végül is
a javaslatomat elutasították, mert az azonosítás gyökszámok növekedésével értelmetlenné tenné a dolgot.
Bongolo-hoz hasonlóan fontosnak találták az adott probléma ellenőrzését és diszkutálását, akkor közelebb kerülhetünk megértéshez.