a) Ha az utolsó kavics nyer:
Azzal nyerni lehet, ha be tudok állítani 2;0 állapotot. Ekkor a másik csak egyet tud elvenni és az utolsót én veszem el.
Az is jó, ha 2;2 állapotot lehet beállítani. Ebből vagy 1;1-et csinál a másik és én nyerek, vagy 2;1-et csinál a másik, amiből én 2;0-át tudok csinálni és nyerek.

Valójában az a közös ezekben, vagyis az az általánosan jó stratégia, ha páros;páros-at tudok csinálni. Abból bármit is lép a másik, tudok megint páros;páros-at csinálni, és az a végén 0;0-ra csökken az én lépésemmel.

Mivel a kezdő állapot pont ilyen páros;páros, ezért ilyet a második tud csinálni, neki van nyerő stratégiája.

b) Ha az utolsó kavics veszít:
Ezt nem tudom...

b) Ha az utolsó kavics veszít:
Ezt nehezebb végiggondolni. Az még egyértelű, hogy ha valaki tud 1;0 vagy 0;1 állapotot csinálna, akkor nyer. Sőt, még azt is viszonylag könnyen lehet érteni, hogy ha páratlan;0 vagy 0;páratlan állapotot tud valaki csinálni, azzal is nyer. Viszont a páros;0 illetve 0;páros állapotba lépés tuti vesztes. (Ennek az alapesete a 0;0 állapotba lépés, hisz akkor én vettem le az utolsót, tehát vesztettem.)

Ennél többet már nehéz kielemezni. Valami olyasmi is még belátható, hogy ha sikerül mindig páratlan;páros állapotot csinálni, amikor a páratlan több, mint a páros, akkor is nyerünk, hisz egy ilyen lépéssorozatnak a vége az, hogy 1;0 állapot lesz (ami a legkisebb páratlan;páros), és az nyerő. Az első játékos tud 7;6-ot csinálni, tehát ebből arra gondolhatnánk, hogy az elsőnek van nyerő stratégiája, de majd a végére kiderül, hogy ez nem igaz.

Szóval nincs semmi olyan, vagy legalábbis én nem találtam semmi olyan stratégiát, amit az a) esethez hasonlóan könnyen lehetne biztonyítani.

Nincs más hátra, mint végig kell nézni minden esetet egy 8x6-os táblázattal (pontosabban 9x7-essel, mert a 0;0 is benne van).

A táblázat egy cellája azt jelenti, hogy aki olyan állapotot hoz létre, az a végén nyer (✓) vagy veszít (×).
Tudjuk, hogy a 0;0 állapot vesztő (×) hisz ahogy oda értünk, mi vettük el az utolsó kavicsot. Sőt, a fentebb írt páratlan;0 nyerő állapotokat és a páros;0 vesztő állapotokat is beírhatjuk kezdetben: (olvasd el újra a válasz elejét esetleg)

`{:
( , 0, 1,2,3, 4,5,6),
(0,×,✓,×,✓,×,✓,×),
(1,✓, , , , , , ),
(2,×, , , , , , ),
(3,✓, , , , , , ),
(4,×, , , , , , ),
(5,✓, , , , , , ),
(6,×, , , , , , ),
(7,✓, , , , , , ),
(8,×, , , , , , )
:}`

Aztán pedig így haladhatunk tovább: Minden cellába érve a másik játékos 3 helyre léphet: balra (ha a 6-os kupacból vesz el egyet), fentre (ha a 8-as kupacból vesz el egyet), vagy bal-fentre (ha mindkét kupacból elvesz egyet-egyet). Ezért minden állapot értéke attól függ, hogy mik vannak ezen a 3 helyen.

- Ha mindhárom helyen `×` van, akkor a következő játékos bárhová lép, veszíteni fog. Ezért a mi állapotunk (tehát a jobb alsó eddig üres cella állapota) nyerő lesz: `✓`
`{:
(×,×),
(×, )
:} quad quad color(red)(→) quad quad
{:
(×,×),
(×,color(red)(✓))
:}`

- Ha viszont a három hely közül bármelyik is pipa, akkor a következő oda tud lépni és nyer. Ezért a mi állapotunk vesztes: `×`. Pl.:
`{:
(×,✓),
(×, )
:} quad quad color(red)(→) quad quad
{:
(×,✓),
(×,color(red)(×))
:}`
(és a többi 6 esetben is, amikor van a három között pipa, ugyanígy vesztes lesz a jobb alsó.)

Ezzel a két szabállyal ki lehet tölteni a teljes táblázatot. A második sor és a második oszlop pl. így lesz kitöltve:
`{:
( , 0, 1,2,3, 4,5,6),
(0, ×,✓, ×,✓, ×,✓, ×),
(1,✓, ×, ×, ×, ×, ×, ×),
(2, ×, ×, , , , , ),
(3,✓, ×, , , , , ),
(4, ×, ×, , , , , ),
(5,✓, ×, , , , , ),
(6, ×, ×, , , , , ),
(7,✓, ×, , , , , ),
(8, ×, ×, , , , , )
:}`

... vagyis azokra a helyekre csupa `×` került. Viszont a következő sorba és oszlopba fog majd pipa is kerülni... fejezd be.

Ha a végén a jobb alsó sarok ilyen lesz:
`{:
( , ,5, 6),
( ,...,...,...),
(7,...,×,×),
(8,...,×,✓)
:}`
akkor az elsőnek nincs jó lépése, mindenféleképpen `×` helyre, szóval vesztes pozícióba kerül. Ekkor a második játékosnak van nyerő stratégiája: oda lép majd, ahol pipa van.

Ellenben ha a három lehetséges lépés közül bármelyik pipa, tehát pl. ilyen a jobb alsó sarok:
`{:
( , ,5, 6),
( ,...,...,...),
(7,...,×,✓),
(8,...,✓,×)
:}`
akkor az első játékosnak van nyerő stratégiája.

Nekem az jött ki, hogy a második tud nyerni (tehát a 8;6-os jobb alsó sarokban pipa volt)! Azért csináld végig, hátha neked nem az jön ki.