(X^11)-2: Ez egy páratlan egész kitevőjű hatvány függvény eltoltja y-tengely mentén, ami tetszőlegessen nagy és kicsi értéket felvehet.
Az értékkészlete R.




√x *sin(x): Egy nemnegatív gyökös leképezés és egy korlátos, folytonos és periódikus függvény szorzata. A szinuszfüggvéy felvehet negatív értéket is.
Ez nem változtat azon a tényen, hogy akármilyen értéket felvehessen, tehát az értékkészlet R


Ennél érdekesebb esetet képviselnek az alúlról korlátos vagy felülről korlátos illetve ezek kombinációjával előállítható függvények.
Ilyenek például az abzsolutértékes és páros egész kitevőjű hatvány függvények.

1)
`x^11-2`
Ha páros hatványra emelünk egy számot, akkor mindig pozitív lesz; ha páratlanra (mint most a 11-edikre), akkor lesz pozitív is meg negatív is (meg persze nulla is). Vagyis `x^11` értékkészlete minden valós szám. Ha ebből kettőt levonunk, az továbbra is minden valós szám lesz.

2)
`sqrt x · sin x`
A négyzetgyök csak nulla vagy pozitív tud lenni, de egyébként minden pozitív valós szám tud lenni.
A szinusz viszont +1 és -1 között minden értéket felvesz. Ahogy `x` megy a végtelen felé, periódikusan néha +1, néha -1 lesz az értéke, közte mindig felvesz minden értéket.
A szorzat pedig: amikor +1 a szinusz értéke, akkor "békén hagyja" a `sqrt x` értékét, amikor pedig -1 lesz, akkor megnegálja. Tehát ahogy nő az `x` és vele nő a `sqrt x` is, egyre nagyobb pozitív és negatív számokat is felvesz a szorzat. Ezek közötti értékeket is persze mind felvesz értékül. Vagyis végül minden pozitív és negatív valós szám előfordul értékként, tehát ennek a függvénynek is a valós számok az értékkészlete.

`f: R rightarrow R; x mapsto (x-3)/(x^2-x-6)=(x-3)/((x-3)(x+2))=1/(x+2)`,
`dom(f)=R\\({3} cup {-2})`; `rang(f)=R\\{0}`
Ha jól megnézed ez egy algebrai tört és ilyenkor a nevező gyökhelyei kiesnek az ÉT-ből, amúgy bármilyen
értéket felvehet. Hasonló grafikonú függvény, mint az `1/x` hiperbola két aszimptotával, amit már tanultatok.
Ez függvény úgy származik az előbbi hiperbolából, hogy el kell tolni az x-tengellyel párhuzamosan 2 egységgel
negatív irányba.


`f: R rightarrow R; x mapsto sqrt((2-x)^2)=|2-x|`, `dom(f)=R`; `rang(f)=R^+ cup {0}`.Itt csak a nemnegatív
értékek jöhetnek


`f: R rightarrow R; x mapsto (4^x-4)/(2^x-2)=2^x+2`, `dom(f)=R\\{1}`; `rang(f)=]2;infty[\\{4}`
Ha ábrázolnád ezt a függvényt, akkor a grafikonján `P(1;4)` pontban a
hézagjelet (amit egy a grafikonjára rajzolt üres karikával jelölünk) is fel kell venni.
Emlékezz vissza a `x mapsto 2^x` grafikonjára, ott az `y=0` volt az aszimptota. Itt most `y=2` lesz,
amit a függvényünk soha nem vesz fel.

`f: [-2, infty[ rightarrow R; x mapsto (4^x-4)/(2^x-2)=2^x+2`, `dom(f)=[-2, infty[\\{1}`; `rang(f)=[5/2; infty[\\{4}`
Csak érdekesség kedvéért vettem fel másképpen. Ugyanis ha megváltoztatjuk az indulási halmazt,
akkor az értékkészlet is megváltozhat. A `P(1;4)` hézagpont változatlanul megmarad.

`f: R rightarrow R; x mapsto x^2+1/x` (Newton-féle háromágu szigony) `dom(f)={x in R; x ne 0}`; `rang(f)=R`
Ha jól megnézed ez egy algebrai tört és ilyenkor a nevező gyökhelyei kiesnek az ÉT-ből és bármilyen
értéket felvehet. Különösen az `x=0` bal oldali környezetében érdekes, mert ott bármilyen negatív értéket felvehet.


`f: R rightarrow R; x mapsto (x-1+|x-1|)/2`, `dom(f)=R`; `rang(f)=R^+ cup {0}`. Itt is csak a nemnegatív
értékek jöhetnek elő. (lásd még a magyar nyelvű Wikipédián a Rámpafüggvény címszó alatt)
A töréspont nem az origóban, hanem az `x=1` helyen lesz.


`f: [-3, 3] rightarrow R; x mapsto |||x|-1|-2|`, `dom(f)=R`; `rang(f)=[0;2]`. Ha ábrázolod (mondjuk
WolframAlpha segítségével), akkor látható lesz az a "cikk-cakk" vonal ami 0 és 2 között
vesz fel értékeket. Ha segítség nélkül szeretnéd megcsinálni, javaslom felvenni a `[-3; 3 ]` intervallumon
az `x=1/2`-es lépésközt.


Az ÉT meghatározásakor 3 függvénytípusra kell különösen oda figyelni: az algebrai törtek, a gyökös függvények és
a logaritmus függvények. Az első esetben a nevező zérushelyeit kell kizárni, a páros gyökkitevő esetén a negatív
értékeket valmint logaritmusos fügvények esetén az argumentum zérushelyeit és a negatív értékeket kell kizárni
az értelmezési tartományból.


`f: R rightarrow R; x mapsto 3/log_10(x-2)`, `dom(f)={x|2<x<3 or x>3}`, `rang(f)={y|y ne 0}`. Na, az ilyen példáknál
kezd izgalmassá válni a dolog. Ugyanis a logaitmus egy algebrai tört nevezőjében jelentkezik. Alapból
ki kell zárnunk a 2-nél kisebb számokat, kizárásra kerül az `x=2` is, mert ott a logaritmus függvénynek
végtelen szakadása van. De meg kell nézni azt is, hogy mikor lesz a nevező zérus. Ha `x=3`, akkor
az logaritmus függvény 0 lesz és ezt a helyet is ki kell zárni. `x=3` bal oldali környezetében tetszőleges
negatív értékek, míg a jobb oldali környezetében tetszőleges pozitív értékek jöhetnek szóba.
`y=0` aszimptotája lesz ennek a függvénynek, amit soha el nem érhet.


`f: [0; infty[ rightarrow R; x mapsto (2x)/(1+x^2)`, `dom(f)= [0; infty]`; `rang(f)=[0; 1]`. A nevező bármilyen
1-nél nagyobb értéket felvehet. A számláló bármilyen 0-nál nagyobb értéket felvehet.
Viszont még nem tanultál szélsőértékszámítást. Így nem fogod tudni meghatározni a függvény
lokális maximumát. Annyit meg tudsz tenni a dolog érdekében, hogy `x=1/2`-es lépésközzel kiszámolsz
néhány értéket a `[0; 6]` intervallumon. Ezekről látni fogod, hogy egyik sem nagyobb mint 1 és be is
tudod bizonyítani azt, hogy ha `x>1`, akkor `(2x)/(1+x^2)<1`. Az is igaz lesz, hogy egyik érték sem lesz
negatív.

Ha ezek után is lesznek homályos pontok, javaslom a neten is elérhető WolframAlpha bevetését is.