Szàmpár egyenletben

1) Ha `n=1`:
Tudjuk, hogy `cos x - sin x = sqrt2 cos(x+π/4)`, vagyis ezt kell megoldani:
`cos(x+π/4) = sqrt2/2`
a) `x+π/4=π/4+2kπ`
`x_1=2kπ`
b) `x+π/4=-π/4+2kπ`
`x_2=-π/2+2kπ`

2) Ha `n=2m ≥ 2`:
`cos^(2m)x=1+sin^(2m)x`
A jobb oldal `≥ 1`, ezért az egyenlőség csak akkor teljesül, ha `cos x = +- 1` (és akkor a szinusz nulla), vagyis
`x=kπ`

3) Ha `n=2m+1 ≥ 3`:
Először lássuk be, hogy `cos^(2m+1)x-sin^(2m+1)x ≤ 1`

Legyen `y=-x`. Ezt kell megoldani:
`cos^(2m+1)y+sin^(2m+1)y = 1`

`cos^(2m+1)y=cos^2 y·cos^(2m-1)y ≤ cos^2y`
és
`sin^(2m+1)y=sin^2 y·sin^(2m-1)y ≤ sin^2y`
mivel a négyzetek pozitívak, a szinusz és koszinusznak meg a páratlan hatványa maxmimum 1 lehet.
Ezek összege pedig:
`cos^(2m+1)y+sin^(2m+1)y ≤ cos^2 y+sin^2y = 1`
Ezzel beláttuk, hogy max 1 lehet.

Az 1 értéket pedig felveszi akkor, ha:
a) `cos^(2m+1)y = 1` (ekkor a szinusz nulla)
`y=2kπ`, tehát
`x_1=2kπ`
b) `sin^(2m+1)y = 1` (ekkor a koszinusz nulla)
`y=π/2+2kπ`, tehát
`x_2=-π/2+2kπ`

Más esetekben nem vehet fel 1 értéket... ezt még be kell látni, csak vázlatosan: folytonos és deriválható a függvény; `2π`-vel periódikus; `x=-3/4π` és `π/4` között pozitív; ezen a szakaszon csak két lokális maximuma van amik az a) és b) esetek, többször tehát nem lehet 1 az értéke.