Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Szàmpár egyenletben
Attila089
kérdése
285
Oldjuk meg az egyenletet, ahol n természetes szám.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo{ }
megoldása
1) Ha `n=1`:
Tudjuk, hogy `cos x - sin x = sqrt2 cos(x+π/4)`, vagyis ezt kell megoldani:
`cos(x+π/4) = sqrt2/2`
a) `x+π/4=π/4+2kπ`
`x_1=2kπ`
b) `x+π/4=-π/4+2kπ`
`x_2=-π/2+2kπ`
2) Ha `n=2m ≥ 2`:
`cos^(2m)x=1+sin^(2m)x`
A jobb oldal `≥ 1`, ezért az egyenlőség csak akkor teljesül, ha `cos x = +- 1` (és akkor a szinusz nulla), vagyis
`x=kπ`
3) Ha `n=2m+1 ≥ 3`:
Először lássuk be, hogy `cos^(2m+1)x-sin^(2m+1)x ≤ 1`
Legyen `y=-x`. Ezt kell megoldani:
`cos^(2m+1)y+sin^(2m+1)y = 1`
`cos^(2m+1)y=cos^2 y·cos^(2m-1)y ≤ cos^2y`
és
`sin^(2m+1)y=sin^2 y·sin^(2m-1)y ≤ sin^2y`
mivel a négyzetek pozitívak, a szinusz és koszinusznak meg a páratlan hatványa maxmimum 1 lehet.
Ezek összege pedig:
`cos^(2m+1)y+sin^(2m+1)y ≤ cos^2 y+sin^2y = 1`
Ezzel beláttuk, hogy max 1 lehet.
Az 1 értéket pedig felveszi akkor, ha:
a) `cos^(2m+1)y = 1` (ekkor a szinusz nulla)
`y=2kπ`, tehát
`x_1=2kπ`
b) `sin^(2m+1)y = 1` (ekkor a koszinusz nulla)
`y=π/2+2kπ`, tehát
`x_2=-π/2+2kπ`
Más esetekben nem vehet fel 1 értéket... ezt még be kell látni, csak vázlatosan: folytonos és deriválható a függvény; `2π`-vel periódikus; `x=-3/4π` és `π/4` között pozitív; ezen a szakaszon csak két lokális maximuma van amik az a) és b) esetek, többször tehát nem lehet 1 az értéke.