Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Számpár egyenletben
Attila089
kérdése
253
Keresse meg az osszes a,b egeszszamokbol allo szampart ,amik kielégítik az egyenletet:
a, b ≥ 1
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
gyula205
válasza
Mindkét alakot ugyanarra a közös alapú hatványra kellene hozni. Ez csak a triviális a=b=1 megoldás esetén lehetséges.
0
bongolo:
Van más megoldás is...
4 éve0
bongolo{ }
megoldása
- Ha `b^2=a`, akkor az alap azonos kell legyen: `a=b`, aminek csak `a=b=1` a megoldása. (Ez a triviális megoldás, olyanokat keresünk inkább, amiknél `a ≥ 2` és `b ≥ 2`.)
- Ha `b^2 > a`, akkor:
`a^(b^2//a)=b`
Mivel `a` és `b` is egészek, `b^2//a=n > 1` egész kell legyen. (`b^2=a·n`)
`a^n=b`
`a^(2n)=b^2=a·n`
`a^(2n-1)=n`
Mivel `a ≥ 2` és `n ≥ 2`, a bal oldal `≥ 2^(2n-1)` exponenciális függvény, aminek az értéke már `n=2` esetén is `8`. A jobb oldal lineáris függvény, az exponenciális sokkal gyorsabban nől, tehát sosem teljesül az egyenlőség (egész számra).
- Ha `a > b^2`, akkor:
`a=b^(a//b^2)`
Itt pedig `a//b^2` kell `n > 1` egész legyen. (`a=b^2·n`)
`a=b^n`
`a=b^2·n=b^n`
`n=b^(n-2)`
Az előzővel ellentétben ennél nem olyan egyértelmű, hogy nincs megoldás.
- `n=2` nem megoldás
- `n=3` esetén `3=b^1` vagyis `b=3` viszont jónak tűnik!
- `n=4` esetén `4=b^2` vagyis `b=2` is jónak tűnik!
- `n ≥ 5` esetén már az előző esethez hasonlóan az exponenciális függvény, ami legalább `2^(n-2)`, már `5`-nél is `2^3=8` értéket vesz fel, tehát nagyobb 5-nél, és mivel sokkal gyorsabban nől mint a lineáris függvény, ott nincs megoldás.
A jónak tűnő esetek:
`n=3, b=3, a=b^2·n=27`
Ellenőrzés:
`27^(3^2) = 3^27`
Ez gyorsan ellenőrizhető, hogy teljesül.
`n=4, b=2, a=b^2·n=16`
`16^(2^2) = 2^16`
Ez is igaz.
Vagyis három megoldás van:
`a=b=1`
`a=16, b=2`
`a=27, b=3`
1
Attila089:
Excelben ezt nem lehetne valahogy megcsinalni?
4 éve0
bongolo:
Megvsinálni nem lehet Excel-ben semmit. Kis számokra lehet megoldásokat találni, de nem bizonyítja semmi, hogy nincs több megoldás.
4 éve1
Attila089:
És programban?
4 éve0
Attila089:
igaz nem így kérdeztem és lehet nem egyszeru
4 éve0
bongolo:
Minden lehetőséget programmal sem lehet kipróbálni. Ezek mind csak tippeket tudnak adni, hogy milyen irányba induljon az ember.
4 éve0