Számpár egyenletben

Mindkét alakot ugyanarra a közös alapú hatványra kellene hozni. Ez csak a triviális a=b=1 megoldás esetén lehetséges.

- Ha `b^2=a`, akkor az alap azonos kell legyen: `a=b`, aminek csak `a=b=1` a megoldása. (Ez a triviális megoldás, olyanokat keresünk inkább, amiknél `a ≥ 2` és `b ≥ 2`.)

- Ha `b^2 > a`, akkor:
`a^(b^2//a)=b`
Mivel `a` és `b` is egészek, `b^2//a=n > 1` egész kell legyen. (`b^2=a·n`)
`a^n=b`
`a^(2n)=b^2=a·n`
`a^(2n-1)=n`
Mivel `a ≥ 2` és `n ≥ 2`, a bal oldal `≥ 2^(2n-1)` exponenciális függvény, aminek az értéke már `n=2` esetén is `8`. A jobb oldal lineáris függvény, az exponenciális sokkal gyorsabban nől, tehát sosem teljesül az egyenlőség (egész számra).

- Ha `a > b^2`, akkor:
`a=b^(a//b^2)`
Itt pedig `a//b^2` kell `n > 1` egész legyen. (`a=b^2·n`)
`a=b^n`
`a=b^2·n=b^n`
`n=b^(n-2)`
Az előzővel ellentétben ennél nem olyan egyértelmű, hogy nincs megoldás.
- `n=2` nem megoldás
- `n=3` esetén `3=b^1` vagyis `b=3` viszont jónak tűnik!
- `n=4` esetén `4=b^2` vagyis `b=2` is jónak tűnik!
- `n ≥ 5` esetén már az előző esethez hasonlóan az exponenciális függvény, ami legalább `2^(n-2)`, már `5`-nél is `2^3=8` értéket vesz fel, tehát nagyobb 5-nél, és mivel sokkal gyorsabban nől mint a lineáris függvény, ott nincs megoldás.

A jónak tűnő esetek:

`n=3, b=3, a=b^2·n=27`
Ellenőrzés:
`27^(3^2) = 3^27`
Ez gyorsan ellenőrizhető, hogy teljesül.

`n=4, b=2, a=b^2·n=16`
`16^(2^2) = 2^16`
Ez is igaz.

Vagyis három megoldás van:
`a=b=1`
`a=16, b=2`
`a=27, b=3`