Indexes deriválás

Mátrix és vektor szorzata vektor, ezt még egy vektorral megszorozva skalárt kapunk. Tehát mindhárom esetben egy skalármezőn ható Laplace-operátort kell kiértékelni, aminek az eredménye is skalármező lesz.

Az első kettőt könnyű megválaszolni, ugyanis antiszimmetrikus mátrix esetén a `mathbf{vAv}` szorzat minden `mathbf{v}` vektorra nulla, tehát a Laplace is nulla. (Lineáris algebrában gondolkodva: `\mathbf{v}^text{T} mathbf{Av}=\mathbf{v}^text{T} mathbf{A}^text{T}mathbf{v}`, de most `mathbf{A}^text{T}=-mathbf{A}`, tehát `\mathbf{v}^text{T} mathbf{Av}=-\mathbf{v}^text{T} mathbf{Av}`, vagyis `\mathbf{v}^text{T} mathbf{Av}=0`.)

A másodikat gyakorlásképpen nézzük meg általánosan is, mert érdekes és nem nehéz:

`Delta(mathbf{rAr})``=``grad^2(mathbf{rAr})``=``partial_i partial_i A_{jk}x_k x_j``=``A_{jk} partial_i partial_i x_j x_k``=``A_{jk} partial_i [(partial_i x_j) x_k+x_j partial_i x_k]``=``A_{jk} partial_i [delta_{ij} x_k+x_j delta_{ik}]``=``A_{jk}[delta_{ij}partial_i x_k+delta_{ik} partial_i x_j]``=``A_{jk}[delta_{ij}delta_{ik}+delta_{ik}delta_{ij}]``=``2delta_{jk}A_{jk}``=``2A_{jj}``=``2\text{Tr}(mathbf{A})`

Vagyis ez a mátrix nyomának a duplája. Antiszimmetrikus esetben a főátlóban csupa nulla van, ezért persze most a nyom is nulla.

Nézzük a harmadikat:

`Delta(mathbf{eSe})``=``grad^2(mathbf{eSe})``=``partial_i partial_i S_{jk}e_k e_j``=``partial_i partial_i S_{jk}x_j x_k r^-2``=``S_{jk} partial_i partial_i x_j x_k r^-2``=``S_{jk} partial_i [(partial_i x_j) x_k r^-2+x_j partial_i x_k r^-2]``=``S_{jk} partial_i [delta_{ij} x_k r^-2+x_j [(partial_i x_k) r^-2+x_k partial_i r^-2]]``=``S_{jk} partial_i [delta_{ij} x_k r^-2+x_j [delta_{ik} r^-2-2x_k r^-3 partial_i r]]``=``S_{jk} partial_i [delta_{ij} x_k r^-2+delta_{ik}x_j r^-2-2x_i x_j x_k r^-4 ]=...`

Végig kell még egyszer deriválni a zárójelben lévő tagokat. A kéttényezőseket már láttuk, ezek ráadásul egyenlőek:

`delta_{ij} partial_i x_k r^-2``=``delta_{ij}[(partial_i x_k) r^-2+x_k partial_i r^-2]``=``delta_{ij}[delta_{ik} r^-2-2x_i x_k r^-4]``=``delta_{jk} r^-2-2x_j x_k r^-4`

`delta_{ik} partial_i x_j r^-2``=``delta_{ik}[(partial_i x_j) r^-2+x_j partial_i r^-2]``=``delta_{ik}[delta_{ij} r^-2-2x_i x_j r^-4]``=``delta_{jk} r^-2-2x_j x_k r^-4`

A négytényezős picit hosszadalmasabb:

`-2partial_ix_i x_j x_k r^-4``=``-2[(partial_i x_i) x_j x_k r^-4+x_i partial_i x_j x_k r^-4]``=``-2[delta_{ii} x_j x_k r^-4+x_i [(partial_i x_j) x_k r^-4+ x_j partial_i x_k r^-4]]``=``-2[delta_{ii} x_j x_k r^-4+x_i [delta_{ij} x_k r^-4+ x_j [(partial_i x_k) r^-4+ x_k partial_i r^-4]]]``=``-2[delta_{ii} x_j x_k r^-4+x_i [delta_{ij} x_k r^-4+ x_j [delta_{ik} r^-4-4x_i x_k r^-6]]]``=``-2[delta_{ii} x_j x_k r^-4+x_j x_k r^-4+ x_j x_k r^-4-4x_i x_i x_j x_k r^-6]``=``-10 x_j x_k r^-4+8x_i x_i x_j x_k r^-6`

Tehát akkor összerakva:

`...=S_{jk} [2delta_{jk} r^-2-4x_j x_k r^-4-10 x_j x_k r^-4+8x_i x_i x_j x_k r^-6]``=``S_{jk} [2delta_{jk} r^-2-14 x_j x_k r^-4+8x_i x_i x_j x_k r^-6]``=``2S_{jj} r^-2-14S_{jk} x_j x_k r^-4+8S_{jk}x_i x_i x_j x_k r^-6``=``2{\text{Tr}(mathbf{S})}/r^2-14 mathbf{rSr}/r^4+8(mathbf{r}^2*mathbf{rSr})/r^6``=``2{\text{Tr}(mathbf{S})}/r^2-14 mathbf{eSe}/r^2+8(mathbf{eSe})/r^2``=``(2\text{Tr}(mathbf{S})-6mathbf{eSe})/r^2`