Én 2018-nak gondolom a számjegyek összegét.
Így kezdtem:

`c_1=b_1-a_1=0`
`c_n=b_n-a_n`
`c_(n+1)=b_(n+1)-a_(n+1)=(10b_n+10)-(10a_n+1)=10c_n+9`
(Vagyis 0, 9, 99, 999, 9999, stb.)

Kicsit belegondolva egyértelműnek tűnik, hogy rekurió nélkül, zárt képlettel is felírhatjuk: `c_n=10^(n-1)-1`, de ezt persze be kell bizonyítani. Teljes indukcióval egyszerű a bizonyítás, rád hagyom.

`S_n=sum_(k=1)^n c_k=sum_(k=1)^n (10^(k-1)-1)=sum_(k=1)^n 10^(k-1)-sum_(k=1)^n 1`
A második szumma egyszerű: `n·1`
Az első szumma pedig egy mértani sorozat összege. Maga a mértani sorozat ez: `e_1=1`
`q=10`
`e_n=e_1·q^(n-1)`
A sorozat összege pedig `e_1·(q^n-1)/(q-1)=(10^n-1)/9`

Szóval az eredeti sorozatösszeg:
`S_n=sum_(k=1)^n 10^(k-1)-sum_(k=1)^n 1=(10^n-1)/9-n`
`S_2019=(10^2019-1)/9-2019`
Vagyis `11111111...11111-2019`, összesen 2019 darab 1-esből van kivonva a `2019`.
Mivel az utolsó 5 számjegynél `11111-02019=09092`, ezért 2014 darab `1`-es után a `09092` számjegyek vannak még a számban. A számjegyek összege tehát `2034`.

Érdekes, hogy `S_2012`-től `S_2021`-ig a számjegyek összege minden esetben `2034`.

Kérdezted, hogyan lehet teljes indukcióval bizonyítani `c_n` zárt képletét.

A `c_n` sorozat rekurzív képlete tehát ez:

`c_1=0`
`c_(n+1)=10c_n+9`

A zárt képlet sejtésünk szerint `c_n=10^(n-1)-1`, ez így bizonyítható:

- `n=1` esetén ellenőrizzük le a képletet: `c_1=10^(1-1)-1=0`, jónak bizonyul a képlet.

- Feltesszük, hogy `n=k`-ra is jó a képlet, vagyis hogy ez igaz:
`c_k=10^(k-1)-1`

- Nézzük `n=k+1`-re:
`c_(k+1)=10c_k+9` a rekurzív képlet szerint. Az pedig az előző indukciós feltevés miatt ennyi:
`=10·(10^(k-1)-1)+9`
`=(10^k-10)+9=10^k-1`
Vagyis egy sorba írva:
`c_(k+1)=10^k-1`, ami `n`-nel felírva: `c_n=10^(n-1)-1`
vagyis `n=k+1`-re is jó a zárt képlet, ha `n=k`-ra jó.

Ezért minden természetes szám `n`-re is jó.