Bonyolult fuggveny abrazolas

Az intervallumon a függvény értelmezve van és folytonos.

Először mi a helyzet 0-nál és π-nél?
Ott `0^0` jellegű, úgyhogy határérték kell L'Hopital-lal:
(0-ra írom, de π-nél is ugyanez. A limesz az intervallum belsejéből tart 0-hoz illetve π-hez, szóval végig valós számok vannak.)
`lim_(x -> 0)sinx^(sinx)=lim_(x -> 0) e^(sinx·"ln"sinx)=e^(lim_(x -> 0) sinx·"ln"sinx)`
`lim_(x -> 0) sinx·"ln"sinx=lim_(x -> 0) ("ln"sinx)/(1/sinx)`
Ez már `oo/oo` alakú, lehet H'Hopital-ni:
`d/dx "ln"sinx = 1/sinx·cosx`
`d/dx 1/sinx = -1/sin^2x·cosx`
Ezek hányadosa `-sinx`, aminek a határértéke 0-nál és π-nél is 0.
És mivel `e^0=1`, ezért a `sinx^sinx` függvény értéke az intervallum mindkét szélénél 1.

Aztán mi a helyzet az intervallum közepén? Nézzük a deriváltját, az megadja a menetét valamint a szélsőértékeit:

`d/dx e^(sinx·"ln"sinx) = e^(sinx·"ln"sinx)·(cosx·"ln"sinx+sinx·1/sinx·cosx) =`
`= sinx^sinx·cosx·("ln"sinx+1)`
A tagok zérushelyei:
a) `sinx^sinx` sosem nulla az intervallumon, mindig pozitív
b) `cosx=0` akkor, ha `x=π/2`. Előtte negatív, utána pozitív.
c) `"ln"sinx+1=0` akkor, amikor `sinx=1/e`, vagyis
`x_1="arc"sin(1/e)`
`x_2=π-"arc"sin(1/e)`
A `[0;x_1)` intervallumon `"ln"sinx+1` negatív, aztán pozitív, végül az `(x_2;π]` intervallumon megint negatív.

Vagyis a teljes derivált illetve `f(x)` ilyen:
- A `[0;x_1)` intervallumon negatív a derivált, `f(x)` szigorúan monoton csökken
- `x_1`-nél nulla a derivált, `f(x)`-nek lokális minimuma van
- Az `(x_1;π/2)` intervallumon pozitív a derivált, `f(x)` szigorúan monoton nő
- `π/2`-nél nulla a derivált, `f(x)`-nek lokális maximuma van
- A `(π/2;x_2)` intervallumon negatíva derivált, `f(x)` szigorúan monoton csökken
- `x_2`-nél nulla a derivált, `f(x)`-nek lokális minimuma van
- Az `(x_2;π]` intervallumon pozitív a derivált, `f(x)` szigorúan monoton nő

Még a lokális minimumok és maximum értékét kell kiszámolni, és már egész jól lehet ábrázolni.

---
Lehet, hogy a második deriváltat is ki kell még számolni, ha teljes függvényvizsgálatról van szó; az határozza meg, hogy hol konvex illetve konkáv a függvény. Próbáld meg.