Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Egyensúlyi helyzet, frekvencia, idő
makákó
kérdése
428
Egy kaliforniai start-up vállalkozás egy állandó sűrűségű
(R sugarú és M tömegű) bolygóba egy egyenes
(és pici átmérőjű) alagutat fúrt az ábra szerint,
mely d távolságra közelíti meg a bolygó középpontját.
Az alagútból kiszívták a levegőt, majd elindul
benne egy m tömegű kisautó (melynek amúgy nincs
is motorja). Kérdés:
- Hol lesz a kisautó egyensúlyi helyzete?
- Mekkora lesz az e körül végzett pici rezgések
frekvenciája?
- Becsüld meg, hogy mennyi idő alatt ér az autó
az alagút egyik végétől a másikig.
(R sugarú és M tömegű) bolygóba egy egyenes
(és pici átmérőjű) alagutat fúrt az ábra szerint,
mely d távolságra közelíti meg a bolygó középpontját.
Az alagútból kiszívták a levegőt, majd elindul
benne egy m tömegű kisautó (melynek amúgy nincs
is motorja). Kérdés:
- Hol lesz a kisautó egyensúlyi helyzete?
- Mekkora lesz az e körül végzett pici rezgések
frekvenciája?
- Becsüld meg, hogy mennyi idő alatt ér az autó
az alagút egyik végétől a másikig.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
idő, mennyi, egyensúlyi, frekvencia, rezgés, helyzet
idő, mennyi, egyensúlyi, frekvencia, rezgés, helyzet
0
Felsőoktatás / Fizika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
válasza
a) Az egyensúlyi helyzet ott van, ahol minimális a helyzeti energiája. A `Φ(r)` pedig akkor a legkisebb, amikor `r^2` a legkisebb, vagyis amikor a kisautó az alagút felénél van. Akkor `r=d`, az energia pedig `Φ(d)`.
b) Legyen az `x` tengely az alagút, az origó pedig az alagút közepe. Az autót engedjük el az `x=A` helyen, akkor `+A` és `-A` között rezeg, vagyis `A` amplitudójú rezgőmozgást végez. Ha `A ≪ d`, akkor közelíthetjük a mozgását harmonikus rezgőmozgással (ekkor a rá ható erő `x` irányú komponense arányosnak tekinthető az elmozdulással). (A teljes `+R` és `-R` közötti rezgés nem harmonikus!)
Amikor az `x=A` helyen van a kisautó, akkor nagyobb a helyzeti energiája, mint `x=0`-nál. `x=0`-nál maximális a sebessége. A helyzeti energiák különbsége átalakult mozgási energiává: (a súrlódástól eltekintünk)
`Φ(r_A)-Φ(r_0)=1/2·m·v_"max"^2`
Az `x=0` helyen `r_0=d`, az `x=A` helyen pedig `r_A=sqrt(d^2+A^2)`:
`Φ(sqrt(d^2+A^2))-Φ(d)=1/2·m·v_"max"^2`
`γmM·((3R^2-d^2)/(2R^3)-(3R^2-(d^2+A^2))/(2R^3))=1/2·m·v_"max"^2`
`γM·(A^2/(2R^3))=1/2·v_"max"^2`
`v_"max"=A·sqrt((γM)/(R^3))`
Tudjuk, hogy harmonikus rezgőmozgásnál a maximális sebesség `v_"max"=A·ω`.
Tehát `ω=sqrt((γM)/(R^3))`
`f=1/(2π)sqrt((γM)/(R^3))`
c)
Az a helyzet, hogy nagy amplitudó esetén már nem lehet így számolni, de lehet, hogy közelítésnek csak így volt elképzelve ebben a feladatban. Szóval ha ezzel számolunk, mint durva közelítéssel, akkor a periódusidő `T=1/f`, aminek a fele kell ahhoz, hogy az egyik végéből a másikig eljusson: `πsqrt(R^3/(γM))`
b) Legyen az `x` tengely az alagút, az origó pedig az alagút közepe. Az autót engedjük el az `x=A` helyen, akkor `+A` és `-A` között rezeg, vagyis `A` amplitudójú rezgőmozgást végez. Ha `A ≪ d`, akkor közelíthetjük a mozgását harmonikus rezgőmozgással (ekkor a rá ható erő `x` irányú komponense arányosnak tekinthető az elmozdulással). (A teljes `+R` és `-R` közötti rezgés nem harmonikus!)
Amikor az `x=A` helyen van a kisautó, akkor nagyobb a helyzeti energiája, mint `x=0`-nál. `x=0`-nál maximális a sebessége. A helyzeti energiák különbsége átalakult mozgási energiává: (a súrlódástól eltekintünk)
`Φ(r_A)-Φ(r_0)=1/2·m·v_"max"^2`
Az `x=0` helyen `r_0=d`, az `x=A` helyen pedig `r_A=sqrt(d^2+A^2)`:
`Φ(sqrt(d^2+A^2))-Φ(d)=1/2·m·v_"max"^2`
`γmM·((3R^2-d^2)/(2R^3)-(3R^2-(d^2+A^2))/(2R^3))=1/2·m·v_"max"^2`
`γM·(A^2/(2R^3))=1/2·v_"max"^2`
`v_"max"=A·sqrt((γM)/(R^3))`
Tudjuk, hogy harmonikus rezgőmozgásnál a maximális sebesség `v_"max"=A·ω`.
Tehát `ω=sqrt((γM)/(R^3))`
`f=1/(2π)sqrt((γM)/(R^3))`
c)
Az a helyzet, hogy nagy amplitudó esetén már nem lehet így számolni, de lehet, hogy közelítésnek csak így volt elképzelve ebben a feladatban. Szóval ha ezzel számolunk, mint durva közelítéssel, akkor a periódusidő `T=1/f`, aminek a fele kell ahhoz, hogy az egyik végéből a másikig eljusson: `πsqrt(R^3/(γM))`
0
- Még nem érkezett komment!