Vektoranalízis SOS!!!!!!

Nézzük először a vektoriális szorzatokat:

`\mathbf{a} times (\mathbf{b} times \mathbf{e})``=``epsilon_{ijk}a_j (\mathbf{b} times \mathbf{e})_k``=``epsilon_{ijk}a_j epsilon_{klm}b_l e_m``=``epsilon_{ijk} epsilon_{klm}a_jb_l e_m``=``(delta_{il} delta_{jm} - delta_{im} delta_{jl})a_jb_l e_m``=``a_jb_i e_j-a_jb_j e_i``=``(\mathbf{ae})\mathbf{b}-(\mathbf{ab})\mathbf{e}`

Tehát `(\mathbf{a} times (\mathbf{b} times \mathbf{e}))/(\mathbf{ae})=\mathbf{b}-\mathbf{ab}/(\mathbf{ae})\mathbf{e}=\mathbf{b}-\mathbf{ab}/(\mathbf{ar})\mathbf{r}`. Ez eléggé leegyszerűsíti a divergencia kifejezését, mivel `\mathbf{b}` konstans, mindenféle deriváltja nulla:

`\text{div}((\mathbf{b} grad)(\mathbf{b}-\mathbf{ab}/(\mathbf{ar})\mathbf{r}))``=``-\mathbf{ab}*\text{div}((\mathbf{b} grad)(\mathbf{r}/(\mathbf{ar})))`

Nézzük a divergencia belsejét:

`(\mathbf{b} grad)(\mathbf{r}/(\mathbf{ar}))``=``b_j partial_j x_i/(a_k x_k)``=``b_j/a_k partial_j x_i/ x_k``=``b_j/a_k [(partial_j x_i)1/x_k+x_i partial_j 1/x_k]``=``b_j/a_k [delta_{ij}/x_k-x_i/(x_k x_k) partial_j x_k]``=``b_j/a_k [delta_{ij}/x_k-x_i/(x_k x_k) delta_{jk}]``=``(b_i)/{a_k x_k}-(b_k x_i)/(a_k x_k x_k)`

Ha az utolsó törtet bővítjük `a_k`-val, akkor látszik, hogy ez éppen `\mathbf{b}/\mathbf{ar}-((\mathbf{ab})\mathbf{r})/(\mathbf{ar})^2`. De ez nem kell nekünk, az indexes írásmódból számíthatjuk a divergenciát:

`\text{div}((\mathbf{b} grad)(\mathbf{r}/(\mathbf{ar})))``=``partial_i [(b_i)/(a_k x_k)-(b_k x_i)/(a_k x_k x_k)]``=``(b_i)/(a_k)partial_i1/x_k-b_k/a_k partial_i x_i/(x_k x_k)``=``-(b_i delta_{ik})/(a_k x_k x_k)-b_k/a_k (partial_i x_i) 1/(x_k x_k)-b_k/a_k x_i partial_i 1/(x_k x_k)``=``-(b_k)/(a_k x_k x_k)-(b_k delta_{ii})/(a_kx_k x_k)+2b_k/a_k x_i 1/(x_k x_k x_k) delta_{ik}``=``-(b_k)/(a_k x_k x_k)-(3b_k)/(a_kx_k x_k)+2b_k/a_k x_k/(x_k x_k x_k) ``=``-(2b_k)/(a_kx_k x_k)``=``-(2a_kb_k)/(a_kx_k a_kx_k)``=``-(2\mathbf{ab})/(\mathbf{ar})^2`

Tehát akkor összerakva az egészet:

`\text{div}((\mathbf{b} grad)((\mathbf{a} times (\mathbf{b} times \mathbf{e}))/(\mathbf{ae})))=2(\mathbf{ab}/\mathbf{ar})^2`

Ellenőrző MATLAB kód: https://pastebin.com/xDPdUS9Z