Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Számelméleti kérdés

39
Van-e olyan pozitív egész, amelynek pozitív osztói között 2011-szer annyi négyzetszám van, mint köbszám?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
0

`p^n`-nek (`p` prím) `n+1` osztója van. Ebből a páros kitevőjüek (`p^0, p^2, p^4,...`) mind négyzetszámok, beleértve a `p^0=1`-et is, hisz `1=1^2`.
A 3-mal osztható kitevőjűek (`p^0,p^3,p^6,...`) pedig köbszámok.

Nézzük a `2^4020` hatványt: ennek van `4020/2+1=2011` darab páros és `4020/3+1=1341` darab hárommal osztható hatványú osztója. Vagyis `2011/1341`-szer annyi négyzetszám osztója van, mint köbszám.

Aztán nézzük ezt: `3^(2*1340)`. Ennek van `1341` darab négyzetszám és `⌊(2·1340)/3⌋+1=894` darab köbszám osztója. Vagyis `1341/894`-szer annyi négyzetszám osztója van, mint köbszám.

Mivel `2` és `3` prímek, a fenti két hatványnak biztosan nincs közös osztója az `1`-et kivéve, ezért a `2^4020·3^2680` szorzatnak `2011·1341` darab négyzetszám és `1341·894` köbszám osztója van. Vagyis `2011/1341·1341/894=2011/894`-szer annyi négyzetszám osztója van, mint köbszám.

Hasonlóan folytatható a dolog: A négyszetszámok és köbszámok aránya most éppen `2011/N`. Vegyük a következő prímet (először `5`), annak vegyük a `2·(N-1)`-edik hatványát (először `2*893`). Annak éppen `N` darab négyzetszám és körülbelül `2/3`-a annyi köbszám osztója van. Ezt a prímhatványt is hozzászorozva a többihez a négyszetszámok és köbszámok aránya már `2011/(N')` lesz, ahol `N'` az előző nevezőnek kb. `2/3`-része.

Ezt addig kell folytatni, amíg a nevező éppen 1 lesz.

Mivel `2/3 < 1`, a folyamat véget fog érni véges lépésben, tehát tudunk a kívánt tulajdonságú számot konstruálni.
Módosítva: 4 napja
0