Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Számelméleti kérdés

350
Van-e olyan pozitív egész, amelynek pozitív osztói között 2011-szer annyi négyzetszám van, mint köbszám?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
0

`p^n`-nek (`p` prím) `n+1` osztója van. Ebből a páros kitevőjüek (`p^0, p^2, p^4,...`) mind négyzetszámok, beleértve a `p^0=1`-et is, hisz `1=1^2`.
A 3-mal osztható kitevőjűek (`p^0,p^3,p^6,...`) pedig köbszámok.

Nézzük a `2^4020` hatványt: ennek van `4020/2+1=2011` darab páros és `4020/3+1=1341` darab hárommal osztható hatványú osztója. Vagyis `2011/1341`-szer annyi négyzetszám osztója van, mint köbszám.

Aztán nézzük ezt: `3^(2*1340)`. Ennek van `1341` darab négyzetszám és `⌊(2·1340)/3⌋+1=894` darab köbszám osztója. Vagyis `1341/894`-szer annyi négyzetszám osztója van, mint köbszám.

Mivel `2` és `3` prímek, a fenti két hatványnak biztosan nincs közös osztója az `1`-et kivéve, ezért a `2^4020·3^2680` szorzatnak `2011·1341` darab négyzetszám és `1341·894` köbszám osztója van. Vagyis `2011/1341·1341/894=2011/894`-szer annyi négyzetszám osztója van, mint köbszám.

Hasonlóan folytatható a dolog: A négyszetszámok és köbszámok aránya most éppen `2011/N`. Vegyük a következő prímet (először `5`), annak vegyük a `2·(N-1)`-edik hatványát (először `2*893`). Annak éppen `N` darab négyzetszám és körülbelül `2/3`-a annyi köbszám osztója van. Ezt a prímhatványt is hozzászorozva a többihez a négyszetszámok és köbszámok aránya már `2011/(N')` lesz, ahol `N'` az előző nevezőnek kb. `2/3`-része.

Ezt addig kell folytatni, amíg a nevező éppen 1 lesz.

Mivel `2/3 < 1`, a folyamat véget fog érni véges lépésben, tehát tudunk a kívánt tulajdonságú számot konstruálni.
Módosítva: 4 éve
0