A logaritmus általánosítása komplex számokra: `lnz = ln|z| + i*\text{arg} {z}`

A komplex szám argumentuma (szöge) nem egyértelmű, a képzetes részhez tetszőleges `k*2pi`-t hozzá lehet adni, így egy komplex számnak végtelen sok logaritmusa van. Ezek közül kitüntetett a főérték, ahol `-pi lt \text{arg} {z} le pi`. Ha nem mondják külön, akkor általában a főértéket értik logaritmus alatt, a továbbiakban én is erről fogok beszélni.

Érdemes még megemlíteni, hogy a fenti definíció természetesen nem teljesen légből kapott. Onnan jön, hogy azt szeretnénk, hogy ha `w = ln z` igaz, akkor `z=e^w` is igaz legyen. Ugyanis:

`z=e^w=e^{u+iv}=e^u e^(iv)=e^u(cos v + i sin v)`

Tehát `x=\text{Re}{z}=e^u cos v` és `y=\text{Im}{z}=e^u sin v`. Ekkor `sqrt(x^2+y^2)=e^u` és `y/x=\text{tg} v`, tehát `u=ln sqrt(x^2+y^2)=ln|z|` és `v=\text{arctg} y/x=\text{arg}{z}`.

Azt kell tehát belátni, hogy az alábbi két függvény harmonikus, azaz kielégíti a homogén Laplace-egyenletet:

`u(x,y)=ln sqrt(x^2+y^2)`

`v(x,y)=\text{arctg} y/x`

A Laplace-operátor egy másodrendű differenciáloperátor, a tiszta második deriváltak összege. Az `u(x,y)` függvényre:

`Delta u = (partial^2 u)/(partial x^2)+(partial^2 u)/(partial y^2) ``=``(partial^2)/(partial x^2)[1/2 ln(x^2+y^2)]+(partial^2)/(partial y^2)[1/2 ln(x^2+y^2)]``=``(partial)/(partial x)[x/(x^2+y^2)]+ (partial)/(partial y)[y/(x^2+y^2)]``=``[(2y^2 -2x^2)/(x^2 + y^2)^2]+[(2x^2 -2y^2)/(x^2 + y^2)^2]=0`

Vagyis a `Delta u = 0` Laplace-egyenlet teljesül, tehát `u(x,y)` harmonikus. Nézzük most `v(x,y)`-t:

`Delta v = (partial^2 v)/(partial x^2)+(partial^2 v)/(partial y^2) ``=``(partial^2)/(partial x^2)[\text{arctg} y/x]+(partial^2)/(partial y^2)[\text{arctg} y/x]``=``(partial)/(partial x)[-y/(x^2 + y^2)]+(partial)/(partial y)[x/(x^2 + y^2)]``=``[(2 x y)/(x^2 + y^2)^2]+[-(2 x y)/(x^2 + y^2)^2]=0`

Tehát `Delta v=0` is teljesül, `v(x,y)` is harmonikus.