Csatoltam képet.

Csak nekem jelene a levezetes

Tényleg általános iskolai feladatok ezek?

f)
`3^7:9 = 3^7:3^2` mert `9=3^2`
`3^7/3^2=3^(7-2)=3^5=3^2·3^3`
Ezt kell hasonlítani `5^3`-hoz.
A `3^2=9`-ből jó lenne harmadik hatványt kihozni valahogy. `2^3=8` kisebb nála, `3^3` pedig már nagyobb. Próbálkozzunk a `2^3`-mal:
`3^2 > 2^3`
ezért
`3^5 = 3^2·3^3 > 2^3·3^3 = (2·3)^3=6^3` ami pedig ` > 5^3` (azonos kitevő, nagyobb alap)
Ezért `3^5 > 5^3`

g)
A 12-es kitevő pont a duplája a 6-nak, azt érdemes kihasználni:
`8^12=(8^2)^6=64^6`
Azt kell hasonlítani `36^6`-hoz.
A kitevők egyformák; az a nagyobb, aminek az alapja nagyobb, vagyis a `64^6`

h) A 125-ről érdemes megjegyezni, hogy `125=5·5·5=5^3`
`125^5=(5^3)^5=5^15`
A jobb oldalon 13-adik kitevő van, csináljuk a 15-ből is 13-at:
`5^15=5^2·5^13=25·5^13`
Az pedig nagyobb, mint a `24·5^13`

i)
A bal oldala baromi nagy szám. `9^45` eleve sokkal nagyobb, mint `9^20`, az pedig szintén nagyobb, mint `4^20`. Kész.

j)
`7^12=7^(2·6)=(7^2)^6=49^6=49·49^5`

Most trükközni kell... a 49-ből lenne jó valamilyen ötödik hatványt csinálni. Tudjuk, hogy `2^5=32` még kisebb 49-nél, de `3^5` már sokkal több. Nézzük, kijön-e valami a `2^5`-nel:

`49 >2^5` ezért `49·49^5 > 2^5·49^5=(2·49)^5=98^5`
Az pedig nagyobb, mint `81^5`, hisz nagyobb az alap és azonosak a kitevők.
Tehát `49·49^5 > 81^5`

7)

c) Az alapok gyanusan ismerősek:
`4=2^2`
`8=2^3`
ezért
`4^18 = (2^2)^18=2^(2·18)=2^36`
`8^12=(2^3)^12=2^(3·12)=2^36`
Egyformák.

d)
A jobb oldalt alakítgassuk:
`4^45 = 4^30·4^15`
`4^15 = (2^2)^15=2^30`
Tehát:
`4^45=2^30·4^30=8^30` ami nagyobb, mint `7^30`

e)
`8^15=8^11·8^3`
`8^3=(2^3)^3=2^9`
Tehát:
`8^15=8^11·2^9 < 8^11·2^11 = 16^11`

Vagyis `16^11 > 8^15`, fordítva, mint ahogy kazah írta.

f)
`5^30=5^20·5^10`
és `5^10 > 4^10 = (2^2)^10=2^20`
tehát
`5^30=5^20·5^10 > 5^20·2^20 = 10^20`