Geometriai fejtoro SOS

A háromszögek szögei 60 fokosak.
A négyzet szögei 90 fokosak.
Ezért az `FDC` szög 30° (persze az `ADE` szög is 30°). Ugye tiszta? Rajzold be a szögeket.

A `DC` átfogójú pöttyözött háromszög `FDC` szöge 30°, a `DCE` szöge pedig 60°, ezért a `DF` szakasz merőleges az `EC` oldalra. (Látod ugye, melyik háromszögről van szó?)
Vagyis `DF` a magasságvonala a `DCE` szabályos háropmszögnek, ezért felezi azt!
Ugyanígy a `DE` is felezi az `ADF` szabályos háromszöget.

Tehát a két nagyobbik pöttyözött terület egyforma, és a szabályos háromszög alakú terítők területének a fele. Kellene még tudni a két pici pöttyözött területet.
Mivel teljesen szimmetrikus az elrendezés, az a kettő is egybevágó kell legyen.

Jelöljünk még betűvel három pontot: `AF` felezőpontja legyen `G`, `EC` felezőpontja pedig `H`. Az `AF` és `EC` oldalak metszéspontja pedig legyen `O`. A négyzet oldala legyen `a`, persze a nagy háromszögek oldala is `a` hosszú.

A két kis pöttyözött háromszög tehát a `GEO`  és `HFO`. Ezek is derékszögű háromszögek, 30-60-90 fokosak.

`DG` a magassága az `AFD` háromszögnek, ezért `DG=DH=a sqrt3/2`, akkor pedig:
`GE=HF=a-a sqrt3/2=a(1-sqrt3/2)`
`GO=HO=GE·sqrt3=a(sqrt3-3/2)`

Mindkét kis pöttyözött háromszög területe tehát ennyi:
`T_"kicsi"=(GE·GO)/2=(a(1-sqrt3/2)·a(sqrt3-3/2))/2=a^2·(7sqrt3-12)/8`

A nagy pöttyözöttek területe egyszerűbb, mindkettő ekkora:
`T_"nagy"=(AG·DG)/2=a/2·a sqrt3/2=a^2·sqrt3/4`

A duplán sraffozott rész meg úgy jön ki, hogy az `GFD` háromszög területéből (ami ugyancsak `T_"nagy"`) kivonjuk a kicsi `HFO` háromszög területét:
`T_"sraff"=a^2·sqrt3/4-a^2·(7sqrt3-12)/8=a^2(12-5sqrt3)/8`

A nem fedett részhez pedig `a^2`-ből ki kell vonni a pöttyözött és sraffozott területeket is:
`T_"fehér"=a^2-2·(T_"nagy"+T_"kicsi")+T_"sraff"`
`T_"fehér"=a^2-a^2·sqrt3/2-a^2·(7sqrt3-12)/4+a^2(12-5sqrt3)/8`
`T_"fehér"=a^2(8-4sqrt3-2(7sqrt3-12)+(12-5sqrt3))/8=a^2·(44-23sqrt3)/8`

Az arányt számold ki te...