Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Logikai feladat
mateKos
kérdése
680
Adjon meg egy abba alakú négyjegyű számot, mely tetszőleges
számrendszerben (ahol értelmezhető)
egy olyan szám, aminek a tízes számrendszerben az értéke egy természetes
szám köbével
egyenlő.
számrendszerben (ahol értelmezhető)
egy olyan szám, aminek a tízes számrendszerben az értéke egy természetes
szám köbével
egyenlő.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
zsombi0806
{ Matematikus }
megoldása
Az `"abba"` alakú szám `c` számrendszerben leírható így:
`"abba"_c=ac^3+bc^2+bc+a`
Ekkor eszedbe juthat egy bizonyos azonosság, hogy
`(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3`
Ha azt mondod, hogy `x=c` és `y=1`, akkor ez így módosul:
`(c+1)^3=c^3+3c^2+3c+1`
Ez alapján ha `a=1` és `b=3`, a szám minden számrendszer esetén köbszám lesz (már ha helyes a szám, tehát `0lea,bltc`). Maga a szám pedig a számrendszernél egyel nagyobb szám köbe.
Be kell vallanom, hogy erre nem jöttem rá, hanem vissza kellett fejtenem. Gyorsan lefuttattam egy kódot, ami kiszámolja 1-től 1000-ig az alapokban az összes 4 jegyű számot,és megnézi, melyiknek a köbgyöke egész. Ekkor tűnt fel, hogy az "1 3 3 1" minden alapban megjelenik. Egyébként minden olyan esetben köbszám lesz, ahol `b=3a` és `a` köbszám, tehát mondjuk `8 24 24 8` esetén is (persze ha `c ge 25`). Ha érdekel, akkor tudok küldeni egyéb megoldásokat 2500-as számrendszerig (csak eddig futtattam) (pl.: 1567-as számrednszerben helyes megoldás: 1340 86 86 1340)
`"abba"_c=ac^3+bc^2+bc+a`
Ekkor eszedbe juthat egy bizonyos azonosság, hogy
`(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3`
Ha azt mondod, hogy `x=c` és `y=1`, akkor ez így módosul:
`(c+1)^3=c^3+3c^2+3c+1`
Ez alapján ha `a=1` és `b=3`, a szám minden számrendszer esetén köbszám lesz (már ha helyes a szám, tehát `0lea,bltc`). Maga a szám pedig a számrendszernél egyel nagyobb szám köbe.
Be kell vallanom, hogy erre nem jöttem rá, hanem vissza kellett fejtenem. Gyorsan lefuttattam egy kódot, ami kiszámolja 1-től 1000-ig az alapokban az összes 4 jegyű számot,és megnézi, melyiknek a köbgyöke egész. Ekkor tűnt fel, hogy az "1 3 3 1" minden alapban megjelenik. Egyébként minden olyan esetben köbszám lesz, ahol `b=3a` és `a` köbszám, tehát mondjuk `8 24 24 8` esetén is (persze ha `c ge 25`). Ha érdekel, akkor tudok küldeni egyéb megoldásokat 2500-as számrendszerig (csak eddig futtattam) (pl.: 1567-as számrednszerben helyes megoldás: 1340 86 86 1340)
1
- Még nem érkezett komment!
