Matek doga

1)
A logaritmus első azonosságát használva:
`log_3(3x-2)+log_3(7-x)=log_3[(3x-2)(7-x)]=log_3(21x-14-3x^2+2x)=log_3(-3x^2+23x-14)`

2)
a) `sqrt(10^(4+"lg"25))=sqrt(10^4*10^("lg"25))=sqrt(10000*25)=100*5=500`
b) `5^2*5^(log_25(36)-1)=5^2*5^(-1)*5^(log_25 36)overset(1"*")(=)5*5^(log_5 6)=5*6=30`
c) `17^(1+1/2 log_17 25)=17*17^(log_17 (25^(1/2)))=17*17^(log_17 5)=17*5=85`

3)
a)
`log_5 15 + log_5 35 - log_5 21=`
Az 1. és 2. azonosság alapján:
`=log_5 ((15*35)/21)=log_5 (5^2)=2`

b)
`3log_3 6 + log _3 35 - log_3 20 - log_3 42`

`3log_3 6 = log_3 6^3=log_3 (3*2)^3=log_3 3^3*2^3=log_3 3^3+log_3 2^3=3+log_3 2^3`

`log_3 42=log_3 (3*14)=1+log_3 14`

`3log_3 6 + log _3 35 - log_3 20 - log_3 42=`
`3+log_3 2^3+log _3 35 - log_3 20-1-log_3 14=`
`2+log_3 8+log _3 35 - log_3 20-log_3 14=`
`2+log_3 ((8*35)/(20*14))=`
`2+log_3 (1)=`
`2+0=`
`2`

Mindjárt jön a 4. is!
EDIT: Megjött a 4. is!

Itt a második fél, csak a két válasz között a Digi volt szíves megszűntetni az internetkapcsolatom.

4
a)
`3log72+2log54-4log108=`
`3log(18*4)+2log(18*3)-4log(18*6)=`
`log((18*4)^3)+log((18*3)^2)-log((18*6)^4)=`
`log( ((18*4)^3*(18*3)^2)/(18*6)^4 )=`
`log( (18^3*18^2*4^3*3^2)/(18^4*6^4) )=`
`log( 18^5/18^4*(2^6*3^2)/(2^4*3^4) )=`
`log (2*3^2*(2^6*3^2)/(2^4*3^4))=`
`log (2^3)`
`log (8)`

`log x= log 8`
A logaritmus függvény kölcsönösen egyértelmű (lfke)
`x=8`

b)
`log( (45^3*2^3)/(5*18^3) )=`
`log( (2^3*3^6*5^3)/(2^3*3^6*5) )=`
`log(25)`
lfke
`x=25`

Mindenhol `log`-ot írtam `"lg"` helyett. Ez azért van, mivel az lg-t idézőjelbe kel tennem, különben így írja: `lg`. Egyébként akármilyen alapú logaritmusokra jók az egyenletek gyökei, nem függnek tőlük.

Az előző válaszban a 2/b-ben az egyik egylőségjel fölé írtam egy `1"*"`-ot és átugrottam egy lépést. Itt van annak a bizonyítása:

`log_((a^2)) (b^2) =(log_a (b^2)) / (log_a (a^2))=(log_a (b^2)) / 2= 1/2 log_a (b^2)=log_a ((b^2)^(1/2))=log_a b`