Vezessük be a `z=sin\ x` ismeretlent:
`2z^2-3z+1 ≥ 0`
A másodfokú kifejezés gyökei:
`z_(12)=(3+-sqrt(3^2-4·2·1))/(2·2)=(3+-1)/4`
`z_1=1`
`z_2=1/2`
A másodfokú függvény egy normál állású parabola (felfelé nyitott, mert a négyzetes tag együtthatója pozitív). Tehát akkor ` < 0` a két gyök között és `≥ 0` azoktól jobbra és balra. Vagyis a z egyenlőtlenség megoldása `z`-vel:
`z ≥ 1` vagy `z ≤ 1/2`

Végül át kell menni `x`-re. Az egyik eset ez:
`z ≥ 1` vagyis `sin x ≥ 1`
Ennek csak a `sin x = 1` esetben vannak megoldásai:
`x=π/2+2kπ`

A másik pedig ez a `z`:
`z ≤ 1/2` vagyis `sin x ≤ 1/2`
Ezt akkor látod jól, ha csinálsz egy rajzot a szinuszgörbével és bejelölöd rajta az 1/2-hez tartozó pontokat (sokat).
Az egyenlőség akkor áll fenn, ha `x=30°` vagy `180°-30°` és persze periódikusan ugyanezek. Radiánban pedig:
`x_1=π/6+2kπ` vagy `x_2=π-π/6+2kπ`
De nem egyenlőség van, hanem `≤`. A két `x` között felfelé megy a szinusz 1-ig majd le 1/2-ig, tehát a periódusnak az ezen kívüli részén lesz kisebb 1/2-nél. Érdemesebb `x_1` helyett egy periódussal későbbi értéket venni:
`x_1=π/6+2π+2kπ`
Az `x_2 ≤ x ≤ x_1` tartományban lesz a szinusz 1/2-nél kisebb vagy egyenlő.

Tehát a megoldások ezek:
`π-π/6+2k_1π ≤ x ≤ π/6+2π+2k_1π`
vagy pedig `x=π/2+2k_2π`
ahol `k_1,k_2 ∈ ℤ`