Én első lépésként megoldanám a jobb oldalt, mint egy önálló másodfokú egyenletet.
0= y^2 + 8y - 12
két y-t fogsz kapni (most nem vezetném le hogyan)

y1 = 2√ 7 -4
y2 = -2√ 7 -4

Ha jobb oldal helyére ezeket írod be, akkor két egyenleted lesz, mindkettőben csak x lesz az ismeretlen és akkor is bonyolult egyenletek maradnak de legalább csak x-el.

Én így csinálnám, persze egyáltalán nem biztos hogy jó, de hátha... Ha megvan a megoldás elküldöd nekem? kíváncsi vagyok

Mindkét oldalnak ugyanazzal a valós számmal kell egyenlőnek lennie - legyen ez 0 (legegyszerűbb eset). Szerintem mással nem érdemes próbálkozni, mert csak bonyolítja az életet.
A két oldalon levő egyenletet külön-külön oldod meg, tehát: -y^2+8y-12=0 és a másik (ott használd fel előbb a logaritmus azonosságait, aztán a trigonometrikus azonosságokat)

Először úgy kezded, hogy felismered, hogy a logaritmusban lévő tört számlálójának értéke 2, ahol a ctg(x) értelmezve van, tehát ez lesz az egyenlet:

log√2(2/sin(2x))=-y²+8y-12, szorozzuk mindkét oldalt -1-gyel:
-log√2(2/sin(2x))=y²-8y+12, majd a logaritmus előtt álló (-1)-es szorzót felvisszük a kitevőbe az azonosság miatt, majd a hatványazonosság miatt a -1 miatt vesszük a reciprokát, ekkor ezt kapjuk:
log√2(sin(2x)/2)=y²-8y+12, átírjuk a jobb oldalt √2-es alapú logaritmussá:
log√2((√2)y²-8y+12), aztán hivatkozunk a logaritmusfüggvény szigorú monotonitására:

sin(2x)/2=(√2)y²-8y+12, szorzunk 2-vel:
sin(2x)=2*(√2)y²-8y+12, átírjuk a 2-t √2 hatványává: (√2)⁴, majd használjuk az azonos alapú hatványok szorzatára vonatkozó összefüggést:
sin(2x)=(√2)y²-8y+16, majd észrevesszük, hogy a kitevőben egy teljes négyzet van: (y-4)², tehát az egyenlet:

sin(2x)=(√2)(y-4)²

Mivel (y-4)² értéke legalább 0, ezért (√2)(y-4)² értéke legalább 1, az 1-et y=4 esetén veszi fel. Mivel a sin(x) függvény értékkészlete a [-1;1] intervallum, ezért más y-nal nem is tudunk foglalkozni; csak y=4 esetén lesz ennek megoldása, ekkor a jobb oldal értéke 1, így az

sin(2x)=1 egyenletet kell megoldanunk, melynek megoldása x=π/4+k*π, ahol k tetszőleges egész szám, tehát az egyenlet megoldáshalmaza; (x ; y)=(π/4+k*π ; 4), ahol k tetszőleges egész szám. Azonban még meg kell nézni, hogy ezek közül esetleg van-e olyan, ami az eredeti egyenlet értelmezési tartományát sérti, de szerintem ezt már egyedül is meg tudod csinálni.