Komplex sprektum

A spektrumot lehet a Fourier-transzformáció definíciója alapján is számítani, de egyszerűbb a dolgunk, ha eszünkbe jut, hogy ez a háromszögablak előállítható két `-T/2`-től `T/2`-ig tartó, `A` magasságú négyszögablak konvolúciójaként. Az ilyen négyszögablak spektruma jól ismert:

`X(j omega)=AT sin(omega T/2)/(omega T/2)`

Tehát a háromszögablak spektruma:

`X_1(j omega)=X^2(j omega)=A^2T^2 (sin^2(omega T/2))/(omega T/2)^2`

Innen a keresett együtthatók:

`C_1=A^2T^2=2.6^2*9.9^2=662.5476`

`C_2=C_3=T/2=9.9/2=4.95`

`varphi=0` (vagy persze `k*2pi`)



Ami a második feladatot illeti, csak be kell helyettesíteni `omega=63`-at. A spektrum tisztán valós (persze, mert páros a jel), így a képzetes rész nulla, a valós pedig:

`X_1(j 63)=662.5476*(sin^2(63 *4.95))/(63*4.95)^2~~3.7256*10^-3`



A jel energiája:

`E_1=int_{-oo}^{oo} |x_1(t)|^2 dt``=``int_{-T}^{T} x_1^2(t) dt``=``2 int_{0}^{T} x_1^2(t) dt``=``2 int_{0}^{T} (-A^2t+A^2T)^2 dt``=``2 int_{0}^{T} (A^4t^2+A^4T^2-2A^4Tt) dt=2[1/3A^4 t^3+A^4T^2t-A^4Tt^2]_{0}^{T}``=``2/3A^4 T^3+2A^4T^3-2A^4T^3``=``2/3A^4 T^3``=``2/3*2.6^4*9.9^3``~~``29560.22`

Ellenőrzésképpen kiszámíthatjuk az energiát a Parseval-tétel alapján a spektrumból is:

`E_1=1/(2pi) int_{-oo}^{oo} |X_1(j omega)|^2 d omega`

Én ezt inkább a MATLAB-ra bízom, eszerint jól számoltam:

format long;
A = 2.6;
T = 9.9;
X2 = @(omega) (A^2*T^2*sin(omega*T/2).^2./((omega*T/2).^2)).^2;
E = 1/2/pi * integral(X2, -1e6, 1e6)