12 feladatot senki sem old meg neked! Az alapokat értsd meg, például videóból:
https://www.youtube.com/watch?v=sAQaVyxPpnE
Vagy itt van még néhány:
https://www.youtube.com/results?search_query=teljes+indukci%C3%B3

Az 5) feladatnál javaslom a wolframalpha használatát, ha nem akarsz sokat nyüglődni: megmondja, hogy mi a zárt alak. Pl. az a)-ra ez lesz:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=for+k%3D1+to+n+sum+1%2F%28%283k-2%29%283k%2B1%29%29
Utána már csak teljes indukcióval be kell bizonyítani, hogy tényleg az a zárt alak.

Ha nem akarsz ilyen segítséget (mert pl. dolgozat közben nem lesz ott), akkor olyan módszert kell alkalmazni, hogy kiszámolod az első néhány összeget, és abból kell "valahogy" rájönni, hogy milyen képlet lehet a közös közöttük. Utána már a teljes indukció "egyszerűbb", mert ott nem nagyon kell rájönni dolgokra, csak végigcsinálni.

Viszont ha a 6)-osat is kérdezed, akkor lehet, hogy a teljes indukcióval is gondod van. Érted, hogy az hogyan megy? Pontosabban azt kellett volna kérdezzem, hogy hol akadsz meg benne?

Pl. a 6a) így mehet:

- Először megnézzük, mi van n=1 esetén? `1^3+5·1=6`, ami tényleg osztható 6-tal, tehát `n=1`-re igaz az állítás
- Aztán feltételezzük, hogy `n=k`-ra teljesül az, hogy `k^3+5k | 6`
- Végül be kell lássuk, hogy `n=k+1`-re öröklődik. Nézük:
`(k+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5`
Vonjunk össze dolgokat, de vigyázzunk, hogy `n=k`-ra vissza tudjuk vezetni. Szóval nem kell erőltetni, hogy mindent összevonjunk:
`=(k^3+5k)+(3k^2+3k+6)`
Most pl. az `5k+3k=8k` összevonást direkt kihagytam! Ugyanis ami az első zárójelben lett, az éppen az `n=k` eset, amiről tudjuk, hogy osztható 6-tal. Csak a második zárójellel kell foglalkozni.
Le kell írni a fűzetedben, hogy:
`k^3+5k` az indukciós feltevés miatt osztható 6-tal, a 6 is osztható, csak azt kell belátni, hogy `3k^2+3k | 6`, vagyis be kell látni, hogy `k^2 + k | 2`
- Ha `k` páros, akkor triviálisan osztható
- Ha `k` pársatlan:
`k=2m+1`
`(2m+1)^2 + (2m+1) = 4m^2+2m+1+2m+1=4m^2+4m+2 | 2`
Kész.

Mivel `n=k+1`-re öröklődött az oszthatóság, minden természetes szám `n`-re igaz.