Matek

1. Az elsőre 12 lehetősége van, a másodikra 11, a harmadikra 10, így 12*11*10=1320-féleképpen választhatja ki a 3 cikket, ha a sorrend számít, ha nem számít, akkor osztani kell 3!-sal (ezt azért kell, mert ha a három kiválasztott cikk ABC, akkor ezeket kiválaszthatta ACB, BAC, BCA, CAB, CBA módokon is, így minden lehetséges módot 3!=6-szor számoltunk meg 1 helyett). Tehát 1320/6=220-féleképpen választhat a cikkek közül. Ez egyébként kijött volna a (12 alatt a 3) képlettel is.
A kiválasztott cikkeket 3*2*1=6-féleképpen tudja elolvasni, ezzel szorzunk, így 1320-at kapunk.

2. Ezekből nincs túl sok lehetőség, fel kell rajzolgatni őket;
-1 csúcsból 3 él fut, 3 csúcsból 1: 3;1;1;1
-3 csúcsból 2 él fut; 1-ből 0: 2;2;2;0
-2 csúcsból 2 él fut, 2-ből 1: 2;2;1;1

Több megoldás nincs.

3. Ha a kitevőben x³ van, akkor
Értelmezési tartomány: R
Értékkészlet: ehhez invertálni kell a függvényt, vagyis meg kell oldani a
2x³-2=y egyenletet x-re; | +2
2x³=y+2 |2 -es alapú logaritmus, y>-2
x³=log₂(y+2) | köbgyök
x=³√ log₂(y+2) , ennek kell nézni az értelmezési tartományát, ami y>-2, ez lesz az értékkészlete az eredetinek.
Szélsőérték: ha az eredetinek van szélsőértéke, akkor az inverz értelmezési tartománya valamilyen zárt intervallum. Mivel az y>-2 nem zárt intervallum, ezért nincs szélsőértéke.
Monotonitás: az x³ szigorúan monoton növő, a 2x szigorúan monoton növő, tehát ez a függvény is szigorúan monoton növő lesz a teljes értelmezési tartományon.
Zérushely: ahol y=0, tehát x=³√ log₂(0+2) =1, tehát x=1 helyen lesz 0.
Paritás: se nem páros, se nem páratlan.
Periodikus: nem, lévén szigorúan monoton növő.
Ábra: x=³√ log₂(y+2) 

4. a) Átírjuk a jobb oldalt 3 hatványává: 3-2, majd harmadik hatványra emelünk:
3x-13-6, majd hivatkozunk az exponenciális függvény szigorú monotonitására:
x-1=-6, erre x=-5 adódik.

b) Gondolom a kitevőben |x-2| akar lenni; átírjuk a jobb oldalt 16-os alapú hatvánnyá: 161/2, ekkor

16|x-2|=161/2, majd hivatkozunk az exponenciális függvény szigorú monotonitására:

|x-2|=1/2, ez akkor egyenlő, ha
vagy x-2=1/2, erre x=5/2 adódik,
vagy x-2=-1/2, erre pedig x=3/2.

c) Átírjuk a jobb oldalakat: 4=82/3, ³√3=31/3, ezután mindkét egyenletben hivatkozunk az exponenciális függvény szigorú monotonitására:

x*y=3/2
2x-y=1/3, a második egyenletből x=((1/3)+y)/2 jön, ezt beírjuk az első egyenletbe:

(((1/3)+y)/2)*y=3/2, szorozzunk 2-vel:
((1/3)+y)*y=3, kibontjuk a zárójelet:
(y/3)+y²=3, szorzunk 3-mal:
3y²+y=9, -9:
3y²+y-9=0, ennek megoldásai y1;2=(-1±√ 109 )/6, ebből x is kiszámolható (nem túl szép megoldások).

5) Ha 0,1-et négyzetre emeljük, akkor 0,01 lesz belőle, ennek a reciproka 100, tehát a logaritmus értéke -2.
2⁷=128, ezért 2=⁷√128, tehát a logaritmus értéke 1/7.
√2-t kétszer négyzetre emelve kapunk 4-et, tehát 4 lesz a logaritmus értéke.

6) Használjuk a bal oldalon a megfelelő azonosságot:

lg(2)+lg(x)=2+lg(2), kivonunk lg(2)-t, ekkor
lg(x)=2 marad, ennek x=100 a megoldása.