Azt kell belátni, hogy ha te mondasz nekem egy tetszőleges `epsilon gt 0` számot, akkor én biztosan mindig tudok mondani neked egy `N` indexet, ami fölött a sorozat bármely két eleme közelebb lesz egymáshoz `epsilon`-nál. Formálisan: `forall epsilon gt 0` esetén `exists N in \quad\mathbb{Z}^+`, hogy ha `n gt m gt N`, akkor `|a_n-a_m| lt epsilon`.

Könnyű találni ilyen `N`-et, ha kihasználhatjuk, hogy a sorozat alulról tart a `9/2`-hez (bár ugye a Cauchy-kritérium épp azért jó, mert nem kell hozzá ismerni a határértéket).

`|a_n-a_m| lt 9/2 -sqrt(9m+m^2)+m``=``9/2+((m-sqrt(9m+m^2))(m+sqrt(9m+m^2)))/(m+sqrt(9m+m^2))``=``9/2-(9m)/(m+sqrt(9m+m^2))``=``9/2*(sqrt(9m+m^2)-m)/(sqrt(9m+m^2)+m)``=``81/(4m+18+4sqrt(9m+m^2)) lt 81/(4m) lt 81/m`

Tehát `|a_n-a_m| lt 81/m`, vagyis a különbséget majoráltuk egy nullsorozattal. Illetve a Cauchy-kritériumot is triviálisan teljesítjük, ha `N`-et tetszőleges `N gt 81/epsilon` értékre választjuk, hiszen ekkor `n gt m gt N` esetén:

`|a_n-a_m| lt 81/m lt 81/N lt epsilon`

Két megjegyzés: egyrészt fontos, hogy `m` a két index közül a kisebbik, mert a sorozat monotonitása miatt ekkor hagyhatjuk el az abszolút értéket. Másrészt nem az adott `epsilon`-hoz található legkisebb `N`-t adtam meg (erre nincs is szükség), hanem egy kényelmeset.