Írjuk fel a Gauss-törvényt egy `r lt R` sugarú, a vizsgált gömbbel koncentrikus gömbfelületre:

`oint \quad\mathbf{D} d\mathbf{S}=int rho dV`

Feltételezve, hogy lineáris, homogén, izotróp anyagról van szó, az elektromos tér skalárszorosa az eltolásnak:

`epsilon_0 epsilon_r oint \quad\mathbf{E} d\mathbf{S}=int rho dV`

A kialakuló tér nyilvánvalóan gömbszimmetrikus, csak sugárirányú komponense van, a gömbfelület mentén mindenhol állandó:

`epsilon_0 epsilon_r E *4pi r^2=int rho dV`

A jobb oldalon pedig a felület belsejében elhelyezkedő össztöltést kell kiszámítani, vagyis a `Br^2` függvényt kell integrálni az `r` sugarú gömbre mint térfogatra:

`epsilon_0 epsilon_r E *4pi r^2=int_{0}^{pi}int_{0}^{2pi}int_{0}^{r} Bx^2 *x^2 sin vartheta dxdvarphi dvartheta`

Itt az integrálási változót `x`-re cseréltem, mivel `r` a gömbfelületünk sugarát jelöli. Illetve nem felejtettem el beszorozni a Jacobi-determinánssal (`dV=x^2 sin vartheta dx d varphi dvartheta`). Innen az integrál már könnyű:

`epsilon_0 epsilon_r E *4pi r^2=2pi B int_{0}^{pi} sin vartheta dvartheta int_{0}^{r} x^4 dx`

`epsilon_0 epsilon_r E *4pi r^2=2pi B [cos vartheta]_{pi}^{0} [x^5/5]_{0}^{r}`

`epsilon_0 epsilon_r E *4pi r^2=4/5 pi B r^5`

Innen a tér:

`E=B/(5 epsilon_0 epsilon_r) r^3`