A mágneses mező iránya függőleges, a töltések vízszintesen mozognak. A rúdra ható erő iránya vízszintes lesz, merőleges a rúdra (jobbkézszabály). Vagyis a rúd a két vezetéken, mint hintán kezd el elmozdulni. Miután odébb "lendül a hinta", akkor is vízszintes irányú marad a Lorentz erő.

a)
A 0,4 m hosszú rúdra ható erő (a rúdon 10 A áram folyik át) :
`F=B·I·ℓ="0,1"(Vs)/m^2·10\ A·"0,4"\ m="0,4"\ N`
A gyorsulás ekkor:
`F=m·a`
`a=F/m=("0,4"\ N)/("0,01"\ kg)=40 m/s^2`

b)
Ha a hintát lassan engednénk felemelkedni, akkor olyan α szögben maradna nyugalomban, amikor a Lorentz erő és a nehézségi erő eredője éppen α irányú nem lesz. Ekkor ugyanis a rá ható erők (kötélerő, Lorentz erő, nehézségi erő) eredője nulla.
Ha nem fogjuk vissza a hinta mozgását, akkor pont ugyanekkora α szögig hat rá gyorsító erő, itt lesz tehát a leggyorsabb.

Ezt az α szöget ki lehetne számolni, de most nem tudom, hogyan tovább... Ha egyetemi feladat lenne, azt mondanám, hogy ki kell integrálni az erőt az elmozdulással, az megadja a végzett munkát, ami a helyzeti és mozgási energiának az összege. De gimis feladat, biztos van valami egyszerű trükk...

A b) feladat zárójelben lévő megoldása szerintem rossz.
UPDATE: nem igaz, jó a közölt megoldás. Azért itt hagyom ezt a válaszomat is, egy részét nem ismételtem meg a harmadik válaszban.

Továbbra se tudom, hogyan lehetne egyszerűen megoldani, integrálással ez az eredmény:
UPDATE: lásd harmadik válasz.

Amikor α szöggel mozdult ki a "hinta", akkor a rúdra ható erők két komponense:
- tengelyirányú
- érintőirányú
Csak a második az érdekes, az gyorsítja:
`F(α)=F·cos\ α-m·g·sin\ α`
Addig gyorsít, amíg ez az erő pozitív. Amikor 0 lesz, akkor a legnagyobb a sebesség:
`F·cos\ α=m·g·sin\ α`
`tg\ α=F/(m·g)="0,4"/"0,1"=4`
`α=arc\ tg\ 4`

Az erő munkája:
`int_0^(arc\ tg\ 4) F(x)·L\ dx`
ahol `L="0,8"\ m` a "hinta" felfüggesztésének a hossza (a kör sugara).
`int_0^(arc\ tg\ 4) (F·cos\ x-m·g·sin\ x)·L\ dx`
aminek az értéke 0,2498 J

Ez a teljes végzett munka. Ebből lesz a rúd mozgási energiája, valamint a helyzeti energia is, hisz a rúd fel is emelkedik, miközben kilendül.
A könyv megoldásában csak a mozgási energiával számolnak, úgy ennyi jön ki:
`"0,2498"\ J=1/2·m·v^2`
`v=sqrt((2·"0,2498")/"0,01")="7,07" m/s` NEM JÓ!

A helyzetgi energia viszont nem nulla, hanem `h` magasra emelkedik a rúd:
`h=L-L·cos\ α="0,8"·(1-cos(arc\ tg\ 4))="0,606"\ m`
`E_h=m·g·h="0,01"·10·"0,606"="0,0606"\ J`
A teljes munkából ezt ki kell vonni, ami marad, az lesz a mozgási energia:
`"0,2498"\ J-"0,0606"\ J=1/2·m·v^2`
`v=sqrt((2·"0,1892")/"0,01")="6,15" m/s`

Hmm, nem volt igazam a második válaszban. Jó a végeredmény a könyvben.
És nem kell integrálni, csak az `F·s` kell, arra vigyázva, hogy az erő irányába eső elmozdulással kell számolni.

Az `F=B·I·ℓ` erő végez csak munkát, ahol `ℓ="0,4"\ m`. A vezetékek hosza `L="0,8"\ m`, ezen, mint egy hintán tud lengeni a rúd. Akkor a legnagyobb a sebesség, amikor `α` szöggel leng ki, ahol `α="arc"\ "tg"\ 4`, ahogy az előbb már kiszámoltam.

A teljes elmozdulás erő irányába eső vetülete `L·sin\ α`, ezt kell a végzett munkánál figyelembe venni:
`W=F·L·sin\ α`

Ez a munka a végső helyzeti és mozgási energiák összege:
`W=E_h+E_m`
`F·L·sin\ α=m·g·h+1/2·m·v^2`
ahol `h=L-L·cos\ α`

Ebből a sebesség:
`1/2·m·v^2=F·L·sin\ α-m·g·L(1-cos\ α)`
`v=sqrt((2L)/m (F·sin\ α-m·g(1-cos\ α)))`
`v=sqrt((2·"0,8"\ m)/("0,01"\ kg) ("0,4"\ N·sin\ α-"0,01"\ kg·10m/s^2(1-cos\ α)))`
`sin("arc"\ "tg"\ 4)="0,970"`
`1-cos("arc"\ "tg"\ 4)="0,757"`
`v=sqrt(160 ("0,4"·"0,970"-"0,1"·"0,757"))\ m/s="7,069"\ m/s`