Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

HOLNAP ZH PLS HELP Elektromosságtan

52
Határozzuk meg annak a gömbkondenzátornak a kapacitását, amelynek fegyverzeteinek közé Epszilon1 és epszilon2 relatív permettivitású szigetelőt rétegeztünk úgy, hogy a két dielektrikum határfelülete
a) a fegyverzetekkel R1<R2<R3 sugarú gömbfelület legyen
b) a két dielektrikum közötti határfelület a gömb középpontján átfektetett sík.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Fizika

Válaszok

1
Rögzítsük a gömbi koordinátarendszer origóját a kondenzátor középpontjába! Az elektromos tér a fegyverzetek között tisztán sugárirányú, nagysága:

`E=1/(4 pi epsilon_0 epsilon_r) Q/r^2`

Nézzük előbb a koncentrikus esetet! A feszültség a fegyverzetek között:

`U=int_{R_1}^{R_3} E dr``=``int_{R_1}^{R_2} E dr+int_{R_2}^{R_3} E dr``=``Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_1) int_{R_1}^{R_2} (dr)/r^2 + Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_2) int_{R_2}^{R_3}(dr)/r^2``=``Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_1) [-1/r]_{R_1}^{R_2} + Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_2) [-1/r]_{R_2}^{R_3}``=``Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_1) [1/R_1-1/R_2] + Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_2) [1/R_2-1/R_3]``=``(Q(R_2-R_1))/(4 pi epsilon_0 epsilon_1 R_1R_2)+(Q(R_3-R_2))/(4 pi epsilon_0 epsilon_2 R_2R_3)``=``Q(epsilon_1R_1(R_3-R_2)+epsilon_2R_3(R_2-R_1))/(4 pi epsilon_0 epsilon_1 epsilon_2 R_1R_2R_3)`

Innen pedig a kapacitás:

`C=Q/U=(4 pi epsilon_0 epsilon_1 epsilon_2 R_1R_2R_3)/(epsilon_1R_1(R_3-R_2)+epsilon_2R_3(R_2-R_1))`

Az eredmény nem is olyan meglepő, hiszen ez éppen olyan, mintha sorba kapcsoltunk volna egy (`R_1`, `R_2`, `epsilon_1`) és egy (`R_2`, `R_3`, `epsilon_2`) paraméterekkel rendelkező gömbkondenzátort.



A második esetben a határfeltételekre kell emlékezni: az elektromos tér tangenciális komponense minden határfelületen folytonosan megy át, ezért az elektromos tér nem különbözik a két dielektrikumban. Írjuk fel a Gauss-törvényt egy tetszőleges sugarú, a két fegyverzet között elhelyezkedő gömbfelületre:

`oint \quad\mathbf{D} d\mathbf{S}=Q`

`oint\quad\epsilon_0 epsilon_r mathbf{E} d\mathbf{S}=Q`

A tér sugárirányú, tehát az integrál értéke a gömb egyik felén `2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_1 E`, a másikon pedig `2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_2 E`:

`2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_1 E+2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_2 E=Q`

`E=Q/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)r^2)`

A feszültséghez ezt kell integrálni, ugyanúgy megy, mint az előbb:

`U=int_{R_1}^{R_3} Q/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)r^2) dr``=``Q/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)) (1/R_1-1/R_3)``=``Q(R_3-R_1)/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)R_1R_3)`

Innen a kapacitás:

`C=Q/U=(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)R_1R_3)/(R_3-R_1)`

Ez pedig olyan, mintha párhuzamosan kapcsoltunk volna egy (`R_1`, `R_3`, `epsilon_1/2`) és egy (`R_1`, `R_3`, `epsilon_2/2`) paraméterekkel rendelkező gömbkondenzátort.
0