Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
HOLNAP ZH PLS HELP Elektromosságtan
Sipka Gergő
{ Tanár } kérdése
496
Határozzuk meg annak a gömbkondenzátornak a kapacitását, amelynek fegyverzeteinek közé Epszilon1 és epszilon2 relatív permettivitású szigetelőt rétegeztünk úgy, hogy a két dielektrikum határfelülete
a) a fegyverzetekkel R1<R2<R3 sugarú gömbfelület legyen
b) a két dielektrikum közötti határfelület a gömb középpontján átfektetett sík.
a) a fegyverzetekkel R1<R2<R3 sugarú gömbfelület legyen
b) a két dielektrikum közötti határfelület a gömb középpontján átfektetett sík.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Fizika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
Rögzítsük a gömbi koordinátarendszer origóját a kondenzátor középpontjába! Az elektromos tér a fegyverzetek között tisztán sugárirányú, nagysága:
`E=1/(4 pi epsilon_0 epsilon_r) Q/r^2`
Nézzük előbb a koncentrikus esetet! A feszültség a fegyverzetek között:
`U=int_{R_1}^{R_3} E dr``=``int_{R_1}^{R_2} E dr+int_{R_2}^{R_3} E dr``=``Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_1) int_{R_1}^{R_2} (dr)/r^2 + Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_2) int_{R_2}^{R_3}(dr)/r^2``=``Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_1) [-1/r]_{R_1}^{R_2} + Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_2) [-1/r]_{R_2}^{R_3}``=``Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_1) [1/R_1-1/R_2] + Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_2) [1/R_2-1/R_3]``=``(Q(R_2-R_1))/(4 pi epsilon_0 epsilon_1 R_1R_2)+(Q(R_3-R_2))/(4 pi epsilon_0 epsilon_2 R_2R_3)``=``Q(epsilon_1R_1(R_3-R_2)+epsilon_2R_3(R_2-R_1))/(4 pi epsilon_0 epsilon_1 epsilon_2 R_1R_2R_3)`
Innen pedig a kapacitás:
`C=Q/U=(4 pi epsilon_0 epsilon_1 epsilon_2 R_1R_2R_3)/(epsilon_1R_1(R_3-R_2)+epsilon_2R_3(R_2-R_1))`
Az eredmény nem is olyan meglepő, hiszen ez éppen olyan, mintha sorba kapcsoltunk volna egy (`R_1`, `R_2`, `epsilon_1`) és egy (`R_2`, `R_3`, `epsilon_2`) paraméterekkel rendelkező gömbkondenzátort.
A második esetben a határfeltételekre kell emlékezni: az elektromos tér tangenciális komponense minden határfelületen folytonosan megy át, ezért az elektromos tér nem különbözik a két dielektrikumban. Írjuk fel a Gauss-törvényt egy tetszőleges sugarú, a két fegyverzet között elhelyezkedő gömbfelületre:
`oint \quad\mathbf{D} d\mathbf{S}=Q`
`oint\quad\epsilon_0 epsilon_r mathbf{E} d\mathbf{S}=Q`
A tér sugárirányú, tehát az integrál értéke a gömb egyik felén `2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_1 E`, a másikon pedig `2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_2 E`:
`2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_1 E+2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_2 E=Q`
`E=Q/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)r^2)`
A feszültséghez ezt kell integrálni, ugyanúgy megy, mint az előbb:
`U=int_{R_1}^{R_3} Q/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)r^2) dr``=``Q/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)) (1/R_1-1/R_3)``=``Q(R_3-R_1)/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)R_1R_3)`
Innen a kapacitás:
`C=Q/U=(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)R_1R_3)/(R_3-R_1)`
Ez pedig olyan, mintha párhuzamosan kapcsoltunk volna egy (`R_1`, `R_3`, `epsilon_1/2`) és egy (`R_1`, `R_3`, `epsilon_2/2`) paraméterekkel rendelkező gömbkondenzátort.
`E=1/(4 pi epsilon_0 epsilon_r) Q/r^2`
Nézzük előbb a koncentrikus esetet! A feszültség a fegyverzetek között:
`U=int_{R_1}^{R_3} E dr``=``int_{R_1}^{R_2} E dr+int_{R_2}^{R_3} E dr``=``Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_1) int_{R_1}^{R_2} (dr)/r^2 + Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_2) int_{R_2}^{R_3}(dr)/r^2``=``Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_1) [-1/r]_{R_1}^{R_2} + Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_2) [-1/r]_{R_2}^{R_3}``=``Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_1) [1/R_1-1/R_2] + Q/(4 pi epsilon_0 epsilon_2) [1/R_2-1/R_3]``=``(Q(R_2-R_1))/(4 pi epsilon_0 epsilon_1 R_1R_2)+(Q(R_3-R_2))/(4 pi epsilon_0 epsilon_2 R_2R_3)``=``Q(epsilon_1R_1(R_3-R_2)+epsilon_2R_3(R_2-R_1))/(4 pi epsilon_0 epsilon_1 epsilon_2 R_1R_2R_3)`
Innen pedig a kapacitás:
`C=Q/U=(4 pi epsilon_0 epsilon_1 epsilon_2 R_1R_2R_3)/(epsilon_1R_1(R_3-R_2)+epsilon_2R_3(R_2-R_1))`
Az eredmény nem is olyan meglepő, hiszen ez éppen olyan, mintha sorba kapcsoltunk volna egy (`R_1`, `R_2`, `epsilon_1`) és egy (`R_2`, `R_3`, `epsilon_2`) paraméterekkel rendelkező gömbkondenzátort.
A második esetben a határfeltételekre kell emlékezni: az elektromos tér tangenciális komponense minden határfelületen folytonosan megy át, ezért az elektromos tér nem különbözik a két dielektrikumban. Írjuk fel a Gauss-törvényt egy tetszőleges sugarú, a két fegyverzet között elhelyezkedő gömbfelületre:
`oint \quad\mathbf{D} d\mathbf{S}=Q`
`oint\quad\epsilon_0 epsilon_r mathbf{E} d\mathbf{S}=Q`
A tér sugárirányú, tehát az integrál értéke a gömb egyik felén `2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_1 E`, a másikon pedig `2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_2 E`:
`2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_1 E+2 pi r^2 epsilon_0 epsilon_2 E=Q`
`E=Q/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)r^2)`
A feszültséghez ezt kell integrálni, ugyanúgy megy, mint az előbb:
`U=int_{R_1}^{R_3} Q/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)r^2) dr``=``Q/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)) (1/R_1-1/R_3)``=``Q(R_3-R_1)/(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)R_1R_3)`
Innen a kapacitás:
`C=Q/U=(2pi epsilon_0 (epsilon_1+epsilon_2)R_1R_3)/(R_3-R_1)`
Ez pedig olyan, mintha párhuzamosan kapcsoltunk volna egy (`R_1`, `R_3`, `epsilon_1/2`) és egy (`R_1`, `R_3`, `epsilon_2/2`) paraméterekkel rendelkező gömbkondenzátort.
0
- Még nem érkezett komment!